Перевод страницы

# Stability of the pillar with variable cross section and the modulus of elasticity in the length

Генрих Саркисян, доктор технических наук, доктор сельскохозяйственных наук, профессор

Армен Казарян,

Национальный аграрный университет Армении, Армения

Участник первенства: Национальное первенство по научной аналитике - "Армения";

Открытое Европейско-Азиатское первенство по научной аналитике;

UDC 624.097.04

Keywords: pillar, design, elastic modulus, cross-section, length

The study of herbaceous plants stems design revealed that they have a high stability. This is explained by the fact that the objects of nature from the point of view of structural mechanics are rather sophisticated. Taking into account the structural features of the stems of plants one can design such pillars the structural properties of which are close to the construction of plants that allows  get the best solutions. In the article the pillar with variable cross-section and the modulus of elasticity in height is studied. The figure shows the design scheme.

Design scheme.

In our case, we denote the change in the modulus of elasticity and the front section of height:

,                                                                                              (1)

Consequently, the stiffness of bent axis is expressed by the following exponential function

,                                                                              (2)

In which D is curved stiffness of the section of the base portion

The differential equation of the bent axis will be:

In which  is distribution function of the weight of the rack.

Suppose that the dead weight of pillar is changed by quadratic function:

Hence (3) takes the following form:

(4)

After differentiating (4) we get

(5)

Because  –the angle of pillar bending and keeping in mind that

Equation (5) takes the following form:

(6)

On the other hand, replacing   and differentiating twice

, by (b) we obtain

(7)

The expression (7) is given in the form of a differential equation of Euler, divided into tand denoted :

After the integration (8) we get:

(8)

,                                                                              (9)

In which

Using  and integrating (9) we obtain the value of the pillar deflection.

:                                                                  (10)

Equality (10) can be simplified:

(11)

In which  are integration constants, which are determined from the following two conditions.

1. when ,  2. when :                                                  (12)

Using the end conditions,

and the joint solution, we get                                                                                  (13)

The stability condition can be represented by the determinant

(14)

After the solution we obtain:, or ,

Therefore,                                                                     ;                                                                                                      (15)

The critical force will be

,                                                                                (16)

In which EI is the bending stiffness of the cross section of the pillar.

For the analysis of the obtained result let us consider the case when the elastic modulus of the pillar in height is a constant.

Therefore, :

The differential equation of the bent axis in this case will be the following:

.                                                                              (17)

Integrating (17) we will obtain

,                                                                          (18)

Again using the  bond, from (18) we obtain

.                                                                       (19)

In expressions  and  are the Bessel functions of the first and second order.

Since the function  does not meet the conditions of the problem when

x=l, (t=1), hence the equations   (18) and (19) will be the following

and

.                                                                                    (20)

To verify the stability it is necessary to use the following expression.

.                                                                                          (21)

From (21) we obtain ,

Simultaneously

hence    ,                                                                                                                                                                                     (22)

or     .

For comparison, for the second case we take   as the average modulus of elasticity

.

Thus the critical force of a pillar with variable modulus of elasticity decreases nearly twice. If we compare it with the critical force of a pillar of uniform cross section and the modulus of elasticity, we obtain that the critical force of a pillar with variable cross section and modulus of elasticity will be relatively larger /1.33/,because in this case

References:

• 1.  Саркисян Г.М., Хуршудян Н.П. Архитектоника камыша озерного // Биолог. журн. Армении - 1988 г. - N2(41) - с. 137-141.
• 2.  Саркисян Г.М., Хуршудян Н.П. Архитектоника стебля подсолнечника // Биолог. журн. Армении - 1989г.-N7(42)-с. 659-662.
• 3.  Саркисян Г.М. Архитектоника стебля табака // Технические средства для интенсивных технологий с.х. производства: Сб. науч. трудов МИИСП – 1992,  с. 19-24.
Комментарии: 19

## Руслан Абдулов

Актуальная работа для теории сооружений и строительных конструкций, ждем продолжения!

## Кисамедин Гулжан

The topic has deeply interested me, but unfortunately I do not have enough expertise to be able to understand the processes you have used in your analysis. It would have been great if one could see illustrations of possible applications. Anyway I've highly rated the article since I think that new ingeneering solutions are crucial for modern construction. regards G.M.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллега! Благоарью Вас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Артамонова Елена Николаевна

Интересная работа по возможности применения бионического принципа и для создания, например, природоподобной формы зданий, и для проектирования несущих конструкций. Заслуживает высокой оценки. Замечания по оформлению работы (сбои при ее загрузки?), например: пропущен №3 в статье для обозначения формулы изогнутой оси стержня (незначительная мелочь); но досадно-отсутствие выражения критической силы Эйлера (15), ради которого и решалась поставленная в работе задача. И поэтому для нас остался ненагляден вывод об уменьшении критической силы Эйлера столба при переменном модуле упругости.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемая Елена Николаевна! Выражение критической силы отражено в формуле (16) и является основой для сопоставления балок с переменным модулем упругости. С уважением Саркисян Генрих, Казарян Армен.

## Адамбаев Мурат Джамантаевич

Классическое понятие устойчивости связано с движением выходной координаты системы, то есть является решением дифференциального уравнения n-го порядка. В связи с этим у автора работы получается своя трактовка понятия устойчивости. На странице 5 представлен детерминант. По условиям устойчивости он составляется из коэффициентов характеристического уравнения объекта, который не показан в работе.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый господин Адамбаев! Коэффицценты характеристического уравнения не приведены для экономии обьема статьи. С уважением Саркисян Г.М, Казарян Армен.

## Таратин Вячеслав Викторович

Уважаемы коллеги, очень добротная статья, выполнена на хорошем методическом уровне. Да есть вопросы по допущениям в модели. Думаю в развитии работы эти вопросы отпадит. Я сам казаюсь вопросов математического моделирования и оптимизации сложных пространственных систем и представляю сложность задачи, которую Вы решаете Желаю авторам дальнейших творческих успехов! С уважением, Вячеслав Викторович Таратин

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллеги! Благоарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Хоботова Элина

Уважаемые автора! Интересна постановка задачи, сделанная Вами, и подход к расчетам. Надеюсь, что полученные результаты найдут своего "потребителя" на производстве. Желаю Вам дальнейших успехов. С уважением проф. Э.Б. Хоботова

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллеги! Благодарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Трещалин Михаил Юрьевич

Уважаемые коллеги! В уравнении (1) показатель степени 4. Почему именно 4? Есть ли обоснование выбора квадратичной функции для описания изменения собственного веса столба? В целом, с математикой все четко. С физикой, граничными условиями и принятыми допущениями - вопросы. Кроме того, задача прикладная. Это следует из первых фраз. Любопытно: где, для чего нужна предложенная Вами мат. модель и какова ее точность. По хорошему, надо сопоставление с экспериментом. Думаю, продолжение следут. С уважением М.Ю. Трещалин.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый господин Трещалин! Благодарью Вас за проявленный интерес к нашей статье. В уравнении (1) изменения геометрической жескости сечения колонны по его длине, как полагается, взято произвольно, близко к реальным условиям. Ранее, нами были проведены эксперименты на образцах из композитов (углепластик) результаты которых были близки к теоретическим. Продолжение исследований в этом направлении продолжаются. -- С благодарностью, Саркисян Г.М., Казарян А.И.

## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, представленная Вами работа очень интересна как в научном плане, так и в практическом плане. У нас (имею ввиду науки строительной механики стран СНГ), вопросы строительной механики на примере природных явлений мало изучены. Мне приходилось знакомится с некоторыми обзорами японских, китайских, американских и корейских исследователей. Думаю что проводимые вами исследования внесет определенную лепту в развитие строительной механики и в будущем проектированию и строительству высотных сооружений(типа небоскребов). Желаю творческих успехов, с уважением проф. Накибулло Бабаев

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый Накибулло Хабибуллаевич! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Симонян Геворг Саркисович

Уважаемые коллеги из Национального аграрного университета. Хорошая статья на стике механики, биологии и дизайна.Успехов. к.х.н. Геворг Саркисович.

## Саркисян Генрих Мушегович

УважаемыйГеворг Саркисович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Горбийчук Михаил Иванович

Уважаемые авторы! Статья интересна в научном плане. Авторам следовало бы указать область применения проведенных теоретических исследований, а также провести анализ выполненных работ другими авторами по данной тематики. С уважением проф. М. Горбийчук

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый Михаил Иванович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.
Комментарии: 19

## Руслан Абдулов

Актуальная работа для теории сооружений и строительных конструкций, ждем продолжения!

## Кисамедин Гулжан

The topic has deeply interested me, but unfortunately I do not have enough expertise to be able to understand the processes you have used in your analysis. It would have been great if one could see illustrations of possible applications. Anyway I've highly rated the article since I think that new ingeneering solutions are crucial for modern construction. regards G.M.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллега! Благоарью Вас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Артамонова Елена Николаевна

Интересная работа по возможности применения бионического принципа и для создания, например, природоподобной формы зданий, и для проектирования несущих конструкций. Заслуживает высокой оценки. Замечания по оформлению работы (сбои при ее загрузки?), например: пропущен №3 в статье для обозначения формулы изогнутой оси стержня (незначительная мелочь); но досадно-отсутствие выражения критической силы Эйлера (15), ради которого и решалась поставленная в работе задача. И поэтому для нас остался ненагляден вывод об уменьшении критической силы Эйлера столба при переменном модуле упругости.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемая Елена Николаевна! Выражение критической силы отражено в формуле (16) и является основой для сопоставления балок с переменным модулем упругости. С уважением Саркисян Генрих, Казарян Армен.

## Адамбаев Мурат Джамантаевич

Классическое понятие устойчивости связано с движением выходной координаты системы, то есть является решением дифференциального уравнения n-го порядка. В связи с этим у автора работы получается своя трактовка понятия устойчивости. На странице 5 представлен детерминант. По условиям устойчивости он составляется из коэффициентов характеристического уравнения объекта, который не показан в работе.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый господин Адамбаев! Коэффицценты характеристического уравнения не приведены для экономии обьема статьи. С уважением Саркисян Г.М, Казарян Армен.

## Таратин Вячеслав Викторович

Уважаемы коллеги, очень добротная статья, выполнена на хорошем методическом уровне. Да есть вопросы по допущениям в модели. Думаю в развитии работы эти вопросы отпадит. Я сам казаюсь вопросов математического моделирования и оптимизации сложных пространственных систем и представляю сложность задачи, которую Вы решаете Желаю авторам дальнейших творческих успехов! С уважением, Вячеслав Викторович Таратин

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллеги! Благоарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Хоботова Элина

Уважаемые автора! Интересна постановка задачи, сделанная Вами, и подход к расчетам. Надеюсь, что полученные результаты найдут своего "потребителя" на производстве. Желаю Вам дальнейших успехов. С уважением проф. Э.Б. Хоботова

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемые коллеги! Благодарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Трещалин Михаил Юрьевич

Уважаемые коллеги! В уравнении (1) показатель степени 4. Почему именно 4? Есть ли обоснование выбора квадратичной функции для описания изменения собственного веса столба? В целом, с математикой все четко. С физикой, граничными условиями и принятыми допущениями - вопросы. Кроме того, задача прикладная. Это следует из первых фраз. Любопытно: где, для чего нужна предложенная Вами мат. модель и какова ее точность. По хорошему, надо сопоставление с экспериментом. Думаю, продолжение следут. С уважением М.Ю. Трещалин.

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый господин Трещалин! Благодарью Вас за проявленный интерес к нашей статье. В уравнении (1) изменения геометрической жескости сечения колонны по его длине, как полагается, взято произвольно, близко к реальным условиям. Ранее, нами были проведены эксперименты на образцах из композитов (углепластик) результаты которых были близки к теоретическим. Продолжение исследований в этом направлении продолжаются. -- С благодарностью, Саркисян Г.М., Казарян А.И.

## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, представленная Вами работа очень интересна как в научном плане, так и в практическом плане. У нас (имею ввиду науки строительной механики стран СНГ), вопросы строительной механики на примере природных явлений мало изучены. Мне приходилось знакомится с некоторыми обзорами японских, китайских, американских и корейских исследователей. Думаю что проводимые вами исследования внесет определенную лепту в развитие строительной механики и в будущем проектированию и строительству высотных сооружений(типа небоскребов). Желаю творческих успехов, с уважением проф. Накибулло Бабаев

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый Накибулло Хабибуллаевич! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Симонян Геворг Саркисович

Уважаемые коллеги из Национального аграрного университета. Хорошая статья на стике механики, биологии и дизайна.Успехов. к.х.н. Геворг Саркисович.

## Саркисян Генрих Мушегович

УважаемыйГеворг Саркисович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Горбийчук Михаил Иванович

Уважаемые авторы! Статья интересна в научном плане. Авторам следовало бы указать область применения проведенных теоретических исследований, а также провести анализ выполненных работ другими авторами по данной тематики. С уважением проф. М. Горбийчук

## Саркисян Генрих Мушегович

Уважаемый Михаил Иванович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.
Партнеры

Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.