Перевод страницы

# INVESTIGATION OF MATHEMATICAL PROBLEMS OF ROLLING MELT METAL BETWEEN THE COOLING ROLL

Богдан Усенко, аспирант

Павленко Анатолий Михалович, профессор, доктор технических наук, профессор

Кошлак Анна Владимировна, кандидат технических наук, доцент

Полтавский национальный технический университет имени Юрия Кондратюка, Украина

Участник конференции

UDC 621.74.043.1

For practical solutions problem of determining the dynamics of solidification of the melt in time and prediction metal structure includes the calculation and analysis of temperature fields, determine the velocity of the solidification front in time was developed mathematical model  in the basis, which was supposed to thermal conductivity equation. Continuous process of pulling the metal layer can be represented as flows of viscous incompressible layer between two elastic-plastic surfaces (rollers), moving with a certain velocity.

Keywords: solidification, mathematical modeling, liquid phases, metal structure, continuous process, rolling

Practical problem of determining the dynamics of solidification of the melt in time and prediction metal structure includes the calculation and analysis of temperature fields, determine the velocity of the solidification front in time, can be solved by means of mathematical modeling. For solving this problem mathematical model was developed in the basis, which was supposed to thermal conductivity equation. Formation a continuous layer of metal is complex irreversible process, consisting of a series of simple phenomena, which in this case cannot be considered without interacting with each other. Irreversibility of the process is associated primarily with the irreversibility of heat and mass transfer, the internal motion in the solid and liquid phases. In the general case a quantitative description of the process is based on the consideration of non-equilibrium thermodynamics uninsulated heterogeneous system consisting of few components, and the phases separated and the environment bounding hull.

Continuous process of pulling the metal layer can be represented as flows of viscous incompressible layer between two elastic-plastic surfaces (rollers), moving with a certain velocity (Figure 1). Moreover, for an arbitrarily selected point in the cooling layer is characterized by a continuous change in temperature, pressure (stress), speed, distance to the boundary of the transition from liquid to solid state. 1 - the liquid metal melt; 2 - form for the metal; 3 - cooled metal layer; 4 - cooled rollers.

Fig. 1. Scheme of pulling process of a continuous layer of metal

Thus, consideration of the cast layer 3 is bounded on both sides by curved surfaces (rollers) 4. Layer 3 - viscous incompressible fluid.

Formalization of the mathematical model

Since the problem of the motion of continuously cast layer is closely related to the problem of heat exchange, the key is to thermal conductivity equation in a general form for a moving continuous medium (layer 3) in which there are distributed sources of heat of the phase transition, depending on the specific heat of phase transition : (1)

and Fourier law thermal conductivity q=-λ(T)gradT. Here ρ - density; с - thermal capacity; λ - thermal conductivity; Т - temperature; L - specific heat of the phase transition (solidification);  ψ - the proportion of solid phase (the liquid phase ψ  = 0, for the solid phase  ψ  = 1,  in the mushy zone 0 < ψ < 1);

Qv (х, у, z, t)- function characterizing the amount allocated during the solidification heat.

To obtain a unique solution of the problem is necessary to supplement its initial and boundary conditions [2-3]: (2) (3)

where Тm – metal temperature, °С

Тa– air temperature, °С (4)

At the phase boundary solid metal - liquid melt is given by the boundary condition of Stephen: (5)

where ξ(t) – equation of the curve separating phases solid metal - liquid melt,  L – heat change of state, J/K (empirically determined value for the transition of the liquid melt in the solid metal), x – normal to the curve, T1(t,x) – temperature of the solid phase (solid metal), T2(t,x) – temperature of liquid phase (liquid melt), λ1 – temperature diffusivity coefficient of the solid metal, λ2 – temperature diffusivity coefficient of the liquid melt.

Define the shape of the curve ξ(t). We seek a solution of the thermal conductivity equation (1) in the following automodel form: (6)

Substituting (6) into (1) leads to the following ordinary differential equation: (7)

From which: (8)

where С1 и С2 – arbitrary constants of integration.

Next to finding the shape of the curve ξ (t), we substitute (6) into the boundary condition Stephen (5). We get: from which  (9)

Consequently (10)

Where the coefficient α is defined as the solution of the transcendental equation (9) with the known value ofL aggregate heat transition molten liquid to the solid state.

Knowing the equation of the curve ξ (t), separating the liquid melt phase - solid metal, we can reduce solution of original problem to the solution of the thermal conductivity equation with generalized (discontinuous) temperature conductivity coefficient: where Initial conditions In (fig.2-3) shows graphs characterizing the dependence of the degree amorphization of the parameters of the pulling process (rapid casting) a metal layer between the cooling rolls. Fig. 2. Graph of the dependence of the degree of amorphization from the temperature of the cooling wet air and the distance between the rollers. Fig. 3. Graph of the dependence of the degree of amorphization from pulling rate of the metal and the distance between the rollers

Conclusions:

1. Practically proved that under certain modes of the pulling process (rapid casting) metal layer between the cooling rolls is possible to obtain an amorphous structure at the layer boundaries.

2. To obtain an amorphous structure of the metal process pulling (fast casting) implement only when such interaction mode parameters (control factors) as the distance between the rollers, pulling speed of the metal and the temperature of the cooling wet air. To increase the degree of amorphization of the casting process is necessary to increase the temperature of the cooling wet air and pulling speed of the melt. But the main parameter of the process that has the greatest impact on the degree of amorphization of metal is the distance between the rollers. At the minimum values ​​of distance degree of amorphization has a maximum value.

• References:
• 1. Pavlenko A.M., Usenko B.O., Koshlak H.V. Analysis of thermal peculiarities of alloying with special properties, Metallurgical and Mining Industry, 2014, No2, p.p. 15-19.
• 2. Pavlenko А.М., Usenko B.O., Koshlak H.V. Analysis of thermal processes in the surface layer formation with amorphous structure, Metallurgical processes and equipment, 2(36)'2014, p.p. 15-19.
• 3. Pavlenko A.M., Usenko B.O., Koshlak A.V. The thermophysical aspects of structure formation of amorphous metals, Transactions of Academenergo, 2014, №1, pp. 7-16
Комментарии: 6 ## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, коллеги. Спасибо за работу. Очень интересная работа, имеющий прикладное значение. Желаю дальнейших творческих успехов. ## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, коллеги. Спасибо за работу. Очень интересная работа, имеющий прикладное значение. Желаю дальнейших творческих успехов. ## Симонян Геворг Саркисович

Вот и подходит к концу конференция "Исследования природы вещества и физического поля в поисках путей разрешения фундаментальных проблем научной гносеологии". посвященный наукам о земле и космосе, физико-математическим и химическим наукам. Известно, что гносеология — (от греч. gnosis — знание и logos — учение) -раздел философии, в котором изучаются проблемы природы и возможностей познания, отношения знания к реальности, исследуются всеобщие предпосылки познания, выявляются условия его достоверности и истинности. Основная гносеологическая схема анализа познания включает субъект (исследователя), наделенного сознанием и волей, и противостоящий ему объект природы, связанный с ним только познавательным отношением. Большинство работ конференции тронули философский аспект проблемы. Так что в этом плане конференция соответствовала своему названию. Поздравляю Вас с наступающим днем Победы. С уважением -Геворг Саркисович. ## Виктория Владимировна Смирнякова

Уважаемый Анатолий Михайлович, Анна Владимировна и Богдан, благодарим за интересную статью. Безусловно, работа имеет практическую значимость. Желаем дальнейших успехов в научной деятельности. С уважением, Виктория Смирнякова ## Усенко Богдан Олегович

Спасибо за вашу оценку. ## Симонян Геворг Саркисович

Уважаемый Анатолий Михалович. Украинские коллеги интересная и хорошая работа, где показано, что определенных условиях бистрого литья можно получить аморфную форму металлов.С уважением Геворг Саркисович.
Комментарии: 6 ## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, коллеги. Спасибо за работу. Очень интересная работа, имеющий прикладное значение. Желаю дальнейших творческих успехов. ## Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые авторы, коллеги. Спасибо за работу. Очень интересная работа, имеющий прикладное значение. Желаю дальнейших творческих успехов. ## Симонян Геворг Саркисович

Вот и подходит к концу конференция "Исследования природы вещества и физического поля в поисках путей разрешения фундаментальных проблем научной гносеологии". посвященный наукам о земле и космосе, физико-математическим и химическим наукам. Известно, что гносеология — (от греч. gnosis — знание и logos — учение) -раздел философии, в котором изучаются проблемы природы и возможностей познания, отношения знания к реальности, исследуются всеобщие предпосылки познания, выявляются условия его достоверности и истинности. Основная гносеологическая схема анализа познания включает субъект (исследователя), наделенного сознанием и волей, и противостоящий ему объект природы, связанный с ним только познавательным отношением. Большинство работ конференции тронули философский аспект проблемы. Так что в этом плане конференция соответствовала своему названию. Поздравляю Вас с наступающим днем Победы. С уважением -Геворг Саркисович. ## Виктория Владимировна Смирнякова

Уважаемый Анатолий Михайлович, Анна Владимировна и Богдан, благодарим за интересную статью. Безусловно, работа имеет практическую значимость. Желаем дальнейших успехов в научной деятельности. С уважением, Виктория Смирнякова ## Усенко Богдан Олегович

Спасибо за вашу оценку. ## Симонян Геворг Саркисович

Уважаемый Анатолий Михалович. Украинские коллеги интересная и хорошая работа, где показано, что определенных условиях бистрого литья можно получить аморфную форму металлов.С уважением Геворг Саркисович.
Партнеры                                                            Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.