facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Wiki
Global international scientific
analytical project
GISAP
GISAP logotip

СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ АГРЕГОВАНОЇ ОДНОПРОДУКТОВОЇ МАКРОЕКОНОМІКИ ЗРОСТАННЯ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ

Автор Доклада: 
Бойчук М.В., Семчук А.Р.
Награда: 
СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ АГРЕГОВАНОЇ ОДНОПРОДУКТОВОЇ МАКРОЕКОНОМІКИ ЗРОСТАННЯ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ

УДК 519.863:338.3

Бойчук Мирослав Васильович, к.ф.-м. н., доцент

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Україна

Семчук Аркадій Романович, к.ф.-м. н.,  доцент

Чернівецький торговельно-економічний інститут Київського національного торговельно-економічного університету, Україна

Запропонована стохастична модель агрегованої однопродуктової макроекономіки зростання із запізненням і вінерівським процесом та проведено її дослідження.

Ключові слова: стохастичне моделювання, стохастична модель, вінерівський процес, стохастична магістраль, стохастичне магістральне керування.

The stochastic model of one product aggregated macroeconomic growth with delay and Wiener process was proposed and conducted its research.

Keywords: stochastic modeling, stochastic model, Wiener process, stochastic line, stochastic line control.

 

Аналіз дослідження проблематики. У роботах [1, 2] проведено дослідження моделі однопродуктової макроекономіки зростання із запізненням, де запропоновано метод розподіленого запізнення (так званої в економіці розділеної лаги).  За цим методом  запізнення заміняється на одну додаткову диференціальну модель із невідомими початковою умовою і параметром, а запізнення вважається розподіленим за експоненціальним законом.

У  роботі [3] розглянуто метод безпосереднього застосування запізнення, тобто достатніх умов оптимальності із запізненням.

Наведені методи застосовувались для детермінованої моделі однопродуктової економіки зростання.

Актуальність проблематики. Дана стаття присвячена дослідженню стохастичної однопродуктової моделі із запізненням, де для її дослідження застосовуються стохастичні достатні умови оптимальності. Дослідження такої моделі пов’язане з тим, що економічні показники мають випадковий характер, оскільки в самій моделі не враховані інші можливі значення. А тому розглянута стохастична модель, без сумніву,  має практичну цінність.

Припущення для побудови математичної моделі. Сформулюємо припущення для побудови детермінованої моделі, а потім на їх основі формалізуємо стохастичну модель.

Припущення 1. Інвестиції І дорівнюють різниці випуску продукції Y та невиробничого споживання C в момент часу t-τ (t– часова змінна, τ - запізнення):  

Будемо вважати, що інвестиції І (t-τ) є частиною кінцевого випуску продукції Y(t-τ) з долею   в момент часу t, тобто

Тоді споживання записується так

Припущення 2. Амортизація наявного капіталу А пропорційна самому капіталу К в момент часу t   – норма амортизації.

Припущення 3. Чисті інвестиції (прибуток) J дорівнюють швидкості зміни наявного капіталу в момент часу t:                        

Припущення 4. Валові інвестиції  I(t-τ)  складаються із чистих інвестицій J(t-τ)  та амортизаційних відрахувань 

Припущення 5. Виробнича функція Y=F(K,L) є залежністю від розмірів капіталу K та робочої сили L з наступними властивостями: F – неперервна при , двічі неперервно-диференційовна, монотонно зростаюча та угнута за кожним аргументом при K>0 та L>0 – однорідна функція степеня  [4]. Причому, питома виробнича функція(на одного працюючого) у функції ,   має такі властивості:  f - неперервна  при , двічі неперевно-диференційовна, монотонно зростаюча, угнута при k>0 тавиконуються граничні рівності 

Модель набуває вигляду

     (1)

Припущення 6Робоча сила L є екзогенною змінною та підпорядкована експоненціальному закону зі сталим темпом зростання :

Припущення 7. Вважається, що задана передісторія руху системи в початковий момент на відрізку часу

де - функція, що описує стан передісторії руху системи. Також, задається обмеження на кінцевий стан системи:.

Перейдемо в моделі (1) до питомих показників . З використанням рівності  одержимо  модель у питомих показниках

         (2)

 Cтохастична модель. Нехай , [5]- ймовірнісний простір з потоком - алгебри ,  і з множиною елементарних подій та з мірою (ймовірністю) ,  (множина дійсних чисел) вимірний вінерівський процес з щільністю розподілу 

Керована стохастична модель із запізненням описується стохастичним рівнянням – диференціальним рівнянням у формі Ітo, початковою умовою та обмеженням на керування і на кінцевий стан системи

 (3)

Тут -  кусково-неперервна функція,   ̶ стандартний вінерівський процес, - кусково-диференційовна функція на . Оскільки функція    f(k≥0)  неперервна та  угнута, то існує стала const(>0) така, що виконується нерівність    Тоді для задачі (3) виконується умова регулярності 

Під -алгеброю    будемо розуміти мінімальну -алгебру, відносно якої величини  ma є вимірними. За результатами [6] умова регулярності, накладена на  та n(t), є достатньою для того, щоб   - вимірний розв'язок k(t) при фіксованій курсово-неперервній функції   існував і був єдиним в сенсі стохастичної еквівалентності.

До моделі (3) випишемо критерій мети, який характеризує максимізацію інтегрального питомого споживання на відрізку часу [t0,T]

(4)

де   -норма дисконту,  - умовне математичне сподівання, яке обчислюється при умові, що траєкторія процесу   при    збігається з деякою кусково-неперервною функцією  , тобто 

У моделі (3)-(4) фазовою траєкторією виступає фондомісткість  k, а керуванням – доля накопичення капіталу .   Задача полягає в тому, щоб знайти оптимальне керування  та відповідну оптимальну траєкторію kоп(t).

Дослідження математичної моделі. Для дослідження моделі (3)-(4) використаємо достатні умови оптимальності [7], за якими необхідно розв'язати таку задачу оптимізації (рівняння Беллмана)

 (5)

Функція V є шуканою неперервно-диференційовною один раз по tта двічі по kпри всіх  та майже при всіх t із .

Коефіцієнт при керуванні прирівняємо до нуля, одержимо  звідки

Це співвідношення підставимо у (5). Одержимо рівняння для визначення k:

Із використанням  отримаємо рівняння для знаходження допоміжної траєкторії :

Для розв’язання цього рівняння застосовуємо метод кроків [8]. Суть методу кроків полягає в наступному:

1)        на відрізку часу

де   ̶  задана передісторія руху капіталу;

2)  

Тоді допоміжна траекторія набуває вигляду

Отже, допоміжна функція  є кусково-диференційовною при кусково-диференційовній функції 

У випадку, коли предісторія  є сталою функцією, то траєкторія  стає статичною і не залежить від функції n.

Відповідне керування,   визначається із рівняння руху капіталу (3): 

Тоді стохастичне магістральне керування  визначається формулою

Причому, керування  є кусково-неперевною функцією на [t0,T]. Відповідна стохастична магістраль Kмаг обчислюється із початкової задачі (3).

Якщо виконується нерівність  то оптимальним процесом задачі (3)-(4) є процес  з елементами . У випадку Kмаг(T)<KT потрібно проводити побудову правого керування , відповідної йому правої траєкторії kпр та правого моменту перемикання керування .

Праве керування. Побудову правого керування потрібно проводити у випадку виконання нерівності  Тоді права траєкторія повинна монотонно зростати, а для її монотонного зростання необхідне виконання нерівності

(6)

із врахуванням обмежень

(7)

З обмежень (6)-(7) формалізуємо задачу стохастичного програмування

(8)

де  - досить мале число.

Розв’язавши задачу стохастичного програмування (8) одним із числових методів [9], знайдемо праве керування У випадку не існування розв’язку задачі (8), відповідно задача (3) - (4) немає оптимального процесу. А це значить, що кінцевий стан KT при t=T є недосяжним для системи (3)-(4).

Правий момент перемикання керування. Для цього треба розв’язати задачу оптимальної швидкодії. Формалізуємо її. Нехай - деяке задане мале число) – окіл магістралі. Через позначимо момент першого досягнення множини  системою (3), починаючи рух у зворотному напрямі осі t із точки k=kпри  t=T. Задача оптимальної швидкодії полягає у виборі такого керування (k), при якому середній час досягнення  рухомою точкою є мінімальним:

(9)

де M - математичне сподівання. Запишемо для задачі на швидкодію (3), (9) рівняння Беллмана [7]

(10)


де   - шуканий правий момент перемикання керування.

Праве керування    знаходиться із задачі (10) і для   має вигляд

Невідому функцію V шукатимемо у вигляді

    (11)

Ми хочемо, щоб праве керування  =, а для цього потрібно, щоб

Після чого покладемо . Одержимо рівняння для визначення правого моменту перемикання

 (12)

Вибором числа  можна добитись того, щоб .

Права траєкторія знаходиться із початкової задачі

Тепер запишемо оптимальний процес  для задачі (3)-(4)

,                 (14)

деоптимальна траєкторія  kоп є кусково-диференційовною функцією, а оптимальне керування – кусково-неперервною функцією на [t0, T].

Алгоритм розрахунку оптимального процесу задачі (3)-(4)

  • 1. Обчислити стохастичне магістральне керування  та відповідну стохастичну магістраль kмаг.
  • 2. Знайти праве керування із задачі стохастичного програмування (8).
  • 3. Визначити правий момент перемикання  із алгебраїчного рівняння (12).
  • 4. Знайти оптимальний процес за формулами (14).

 

Література:

  • 1.    Основы теории оптимального управления/ Под ред. Кротова Ф.В. – М.: Высшая школа, 1990. – 386 с.
  • 2.    Колемаев В.А. Математическая економика. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.
  • 3.    Бойчук М.В., Бойчук В.М. Моделювання макроекономічного зростання при оподаткуванні із запізненням // Управлінські, правові, соціально-економічні чинники розвитку української держави у ХХІ сторіччі. – Чернівці, ТОВ «Друк Арт», 2008. С.93-99.
  • 4.    Бойчук М.В., Бойчук В.М. Моделювання виробничих функцій за допомогою диференціальних моделей другого порядку // Наук. вісник Буковинської держ. фінанс. акад.: Збірник наук. пр. Вип.3, ч. І: Економічні науки. – Чернівці, Технодрук, 2008. С.351-356.
  • 5.    Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів. – К.: Либідь, 1990. – 168с.
  • 6.    Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. – К.: Наукова думка, 1977. – 432 с.
  • 7.    Андреева Е.А., Колмановський В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. – М.: Наука, 1992. – 336 с.
  • 8.    Регулярно і сингулярно збурені диференціально-функціональні рівняння /В.І.Фодчук, Я.Й. Бігун, І.І. Клевчук, І.М. Черевко, І.В. Якімов.– К.: Ін-т матем. НАН України,1996.–210 с.
  • 9.    Ермольев Ю.М. Методы стохастического програмирования. – М.: Наука, 1976.- 240 с.
10
Ваша оценка: Нет Средняя: 10 (1 голос)
Партнеры
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.