facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Global international scientific
analytical project
GISAP
GISAP logotip
Перевод страницы
 

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИНЦИПАХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИНЦИПАХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИНЦИПАХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ
Mikhail Gorbiychuk, доктор технических наук, профессор

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа, Украина

Шуфнарович Марьяна Антоновна, ассистент

Ивано-Франковский государственный медицинский университет, Украина

Участник первенства: Национальное первенство по научной аналитике - "Украина";

УДК 628.5.66

Разработан метод построения математических моделей сложных процессов на принципах генетических алгоритмов. Данный метод дает возможность синтезировать математические модели любой сложности без предварительного выбора числа рядов селекции. Метод найдет применение в повышении точности прогнозов колебательных процессов, например уровня реки Днестр.

Ключевые слова:синтез математических моделей, генетический алгоритм, критерий селекции, популяция, хромосома.

A method for constructing mathematical models of complex processes based on the principles of genetic algorithms. This method allows to synthesize mathematical models without any difficulty selecting the number of rows selection. The method will be used to improve the accuracy of predictions of oscillatory processes, such as the level of the river Dniester.

Keywords: synthesis of mathematical models, genetic algorithm, the criterion of selection, population, chromosome.

 

Целому ряду процессов экономического и экологического характера присуща гармоническая составляющая с некратными частотами, которая моделируется выражением:

где t - такты отсчета времени, t=1,2,3,...,N; A0, Aj, Bj - параметры гармонического ряда(1); ?j=?j-1+??j - некратные частоты, j=1,2,3.

Для оценки параметров ряда (1) необходимо выполнение условия [1] N≥3m+1 . Идентификация параметров модели (1) происходит в несколько этапов [2]. Первый этап - вычисление балансовых коэффициентов ?p из условия минимизации невязки

g(t) - отсчеты реализации процесса в моменты времени, симметрично размещены относительно произвольной точки i.

Итак, будем решать задачу

где  - вектор весовых коэффициентов;

T- символ транспонирования матриц.

Задачу (3) запишем в матрично-векторной форме

Минимизация выражения (4) приводит к нормальному уравнению Гаусса

Из последнего уравнения можно найти

Использовать формулу (6) можно лишь тогда, когда размерность вектора  невелика и матрица  является хорошо обусловленной. Если это условие не выполняется, то для нахождения  следует решать уравнения (5) одним из численных методов [3].

На втором этапе составляется уравнение  для произвольной частоты ?, которое с помощью рекуррентного соотношения [1]  приводится к алгебраическому уравнению m-той степени относительно z=cos?

Суть третьего этапа заключается в оптимальном синтезе гармонического ряда (1).

Предложен подход построения математических моделей, основанный на идеях генетических алгоритмов. Вся реализация исходной величины процесса или явления N разбивается на три части в такой пропорции [2]: NR=0.7N, NQ=0.2N и NR=0.1N..Для множества данных NR+NQ определяются весовые коэффициенты ?p из уравнения (4) по методу исключения Гаусса с выбором главного элемента [3].Решение уравнения (7) дает возможность найти частоты . Тогда,на множестве точек NR+NQ необходимо найти параметры модели (1) A0, Aj, Bj [7]. Создадим хромосому длиной m, в которой на i-том месте будет стоять ноль или единица в зависимости от того частота ?j изъята из выбранного полного рядаmили оставлена.Набор хромосом образует популяцию.В задачи синтеза моделей колебательных процессов функцией приспособленности,которая позволяет выбрать наиболее приспособленные особы из популяции, выступает комбинированный критерий селекции [5]

где B - функция невязки (2); gi(R), gi(S) - величины, вычислены на множестве точек N по формуле (1), а коэффициенты модели (1) найдены на множествах NR+NQ и NS.

Генетический алгоритм состоит из следующих шагов [4].

Ш1. Случайным образом формируется популяция с I особей, каждая из которых является хромосомой длиной m.

Ш2. Для каждой хромосомы вычисляется критерий селекции (8).

В соответствии с моделью (1) формируется матрица

.

В хромосоме удваиваем единицы и нули потому, что каждой частоте ?j соответствует пара коэффициентов Aj, Bj. В модели (1) всегда присутствует коэффициент A0, то в хромосому на первую позицию добавляем единичный ген. C матрицы F формируют новую матрицу Fnew путем изъятия тех столбцов с матрицы F, что отвечают нулям хромосомы Chd0. Матрицу FR образуют первые NR+Nстолбцы матрицы Fnew, а вторую – последние NS. На множествах точек NR+NQ и NS вычисляются ненулевые коэффициенты A0, Aj, Bj модели (1) путем решения нормального уравнения Гаусса

 - векторы экспериментальных данных на множестве точек NR+NQ и NS.

По известной совокупностью коэффициентов  модели (1) на множестве точек N вычисляют . Значение критерия селекции находят для каждой хромосомы по формуле (9) и в результате получают множество значений ?i.

Ш3. Определяют

Если минимальное значение (12) критерия селекции (9) не превосходит некоторого положительного значения ?, то происходит остановка алгоритма.Остановка алгоритма также может произойти в случае, когда его выполнение не приводит к улучшению функции приспособления или в том случае, когда алгоритмом уже выполнено заданное число итераций. После выполнения одной из трех условий из популяции выбирается хромосома Ch*, для которой выполняется условие (12). После операции удвоения и присоединения единичного гена получаем - . Эта хромосома задает структуру модели оптимальной сложности и формирует матрицу F*. Перерасчет параметров модели (1) осуществляется на множестве всех точек исходного массива данных.

Ш4.В данном алгоритме использован метод турнирной селекции. Все хромосомы разбиваются на подгруппы,чаще всего по 2 - 3 особи в каждой, с последующим выбором из каждой образованной подгруппы хромосомы с лучшей приспособленностью.

Ш5.Оператор мутации с вероятностью Pm изменяет значение гена в хромосоме на противоположное, то есть с 1 на 0 или с 0 на 1. Оператор скрещивания состоит из двух этапов. На первом этапе выбирается лучшая хромосома из подгруппы особей по критерию селекции. В результате получаем новую популяцию хромосом, в которой применяют оператор скрещивания. После выполнения оператора скрещивания происходит переход к Ш2.

Анализ изменения уровня воды в р.Днестр показывает, что со временем имеет место тренд h(t), который носит линейный характер, и существует гармоническая составляющая G(t) обусловлена сезонным изменением метеорологических условий [6], т.е.

Из зависимости (13) был выделен линейный тренд

h(t)=?0+?1t                   (14)

где ?0?1t - параметры линейного тренда, найденные по методу наименьших квадратов.

На рис.1 показан результат работы программы, написанной с использованием разработанного метода в средеMatLab, где знаком «о» отмечены экспериментальные данные, а «+» - результат расчета по формуле (1).После выделения из экспериментальных данных гармонического тренда получили остаток - 

Рис. 1 Гармонический тренд колеблющегося процесса (Днестр)

Величина Ht является функцией параметров, определяющих погодные условия, т.е.

где Tt- среднесуточная температура воздуха, ?С; ƒt- количество осадков, мм/сутки; vt - среднесуточная скорость ветра, м/с; p- среднесуточное барометрическое давление, мм. рт. ст., t - текущее дискретное время, k=1,2,3 - смещение во времени.

Соотношение (15) будем искать в виде полинома

где  - количество членов полинома (16) [7]; ?i - коэффициенты полинома;  - степени аргументов, - входные величины в каждом наблюдении

Систему уравнений (16) удобно представить в матрично-векторной форме

где  - вычисленное значение выхода модели (16) в каждой точке наблюдений; F - матрица размером NxM, элементы которой произведения аргументов при параметрах  - вектор параметров модели (16).

Зная , можно вычислить критерий аппроксимации . Минимизация критерия аппроксимации приводит к соотношению , которое называют нормальным уравнением метода наименьших квадратов. Из этого соотношения можно найти

Использовать формулу (22) можно лишь тогда, когда размерность вектора параметров  невелика и матрица FT F является хорошо обусловленной [8]. Если это условие не выполняется, то для решения уравнения (22) следует использовать один из численных методов, например, метод Гаусса с выбором главного элемента [3].

Как правило, структура модели (16) неизвестна, что приводит к необходимости произвольного выбора как числа функций, так и вида самих функций в модели (16).Поэтому был предложен индуктивный метод самоорганизации моделей [1], идейную сторону которого определяет теорема Геделя.

Для выбора структуры модели используют критерии регулярности

Если выбран критерий регулярности (23), то данные эксперимента распределяют [2]: NR=0.7N и NQ=0.3N, а при выборе критерия (24) - NR=0.5N і NQ=0.5N.

Реализация индуктивного метода самоорганизации моделей осуществляется поэтапно: первый этап - генерация моделей-претендентов (в определенном порядке повышения сложности), второй этап - отбор лучшей модели по критерию селекции (23) или (24).

Создадим хромосому длиной M, в которой на i-том месте будет стоять единица или нуль в зависимости от того, параметр  модели (16) отличный от нуля или нулевой.С начальной популяции хромосом путем эволюционного отбора нужно выбрать такую, хромосому, которая обеспечивает минимальное значение критерия селекции (23) или (24).Алгоритм решения поставленной задачи аналогичен ранее разработанному с той лишь разницей, что не осуществляется операция удвоение генов в хромосомах.

Найденные зависимости h(t), G(t) и yt дают возможность найти

На рис.2 «+» обозначены вычисление значения по формуле (25), а значком «о» - экспериментальные значения уровня воды в р.Днестр. Адекватность модели проверялась с помощью коэффициента корреляции KYy=0.98746, что свидетельствует о высокой степень корреляции между величинами Yi и y(i).

 

Рис. 2 Зависимость уровня воды в р. Днестр от погодных условий

Таким образом, применение идей генетических алгоритмов к построению сложных математических моделей дает возможность выбрать оптимальную по структуре адекватную модель и значительно уменьшить объем вычислений.

 

Литература:

  1. Ивахненко А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем: монография / А. Г. Ивахненко. – К.: Наукова думка, 1981. – 296 с.
  2. Ивахненко А. Г. Справочник по типовым программам моделирования. / А. Г. Ивахненко, Ю. В. Коппа, В. С. Степашко и др.; под ред. А. Г. Ивахненко – К.: Техніка, 1980. – 180 с.
  3. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.
  4. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы /  Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский; пер. с польск. И. Д. Рудинского. – М.: Горячая линия-Телеком, 2004. – 452 с.
  5. Ивахненко А. Г. Помехоустойчивость моделирования: монография /. А. Г. Ивахненко, В. С. Степашко - Киев:Наук. думка, 1985. - 216 с.
  6. Горбійчук М. І. Математичні моделі прогнозування стоку р. Дністер для запобігання техногенних аварій магістральних газопроводів / М. І. Горбійчук, О. В. Пендерецький // Науковий вісник Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу. – 2008. - № 2 (18). – С. 30 – 33
  7. Горбійчук М. І. Індуктивний метод побудови математичних моделей газоперекачувальних агрегатів природного газу / М. І. Горбійчук, М. І. Когутяк, Я. І. Заячук // Нафтова і газова промисловість. – 2008. - № 5. – С. 32 – 35.
  8. Ермаков С. М. Математическая теория оптимального эксперимента / С. М. Ермаков, А. А. Жиглявский: учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 320 с.
0
Ваша оценка: Нет Средняя: 6.8 (10 голосов)
Комментарии: 12

Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые коллеги! Результаты исследований авторов приведенные в работе "ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИНЦИПАХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ" очень интересные и актуальные. Действительно идея применения генетических алгоритмов к построению сложных математических моделей дает возможность выбрать оптимальную по структуре адекватную модель и значительно уменьшить объем вычислений. В статье не приведена конкретная область или отрасль применения данной модели. С уважением д.т.н., проф. Бабаев Н.Х.

Заячук Ярослав

Авторы предложили вариант использования генетических алгоритмов для построения математических моделей сложных процессов. Но, как уже было отмечено, не показаны преимущества данного алгоритма над классическими. Авторам спасибо за работу. Успехов!

Артамонова Елена Николаевна

В данной работе наглядно проиллюстрировано использование генетических алгоритмов для решения задач оптимизации, которые на практике очень часто оказываются довольно сложными. Они включают целевые функции, которые могут быть и дискретными, и недифференцируемыми. Но существуют стохастические методы оптимизации, к примеру, "генетический алгоритм", во многих случаях они достаточны для нахождения нескольких решений, вполне приемлемых для решения практических задач. В одних случаях представляет интерес найти те значения параметров, при которых достигается наилучшее точное значение функции. В других случаях, как в данной статье точный оптимум не требуется - решением может считаться любое значение, при котором минимальное значение (12) критерия селекции (9) не превосходит некоторого положительного значения ?, и происходит остановка алгоритма. В этом случае, генетические алгоритмы - часто наиболее приемлемый метод для поиска "хороших" значений. В статье также прослеживается сила используемого генетического алгоритма - в его способности манипулировать одновременно многими параметрами. Для получения наиболее эффективного решения с помощью генетического алгоритма в работе правильно заданы его параметры.

Руденко Нина Павловна

Автор представил сложный подход к решению задачи. которую можно решить при помощи классических методов прикладной статистики. Например, построить тренд с сезонной компонентой. Сама по себе работа интересная, особенно при выборе весовых коэффициентов факторов.

Кайда Светлана Владимировна

Математическое моделирование процесс достаточно сложный и творческий. Данный метод действительно упрощает задачу, является оригинальным и универсальным. Спасибо автору за доклад. Желаю успехов!

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Иванова Татьяна Александровна

Понравилось использование в генетике и селекции полинома.так как он практически не имеет окончания,а имеет бесконечное множество продолжения комбинаций.Однако не совсем ясно применение формулы Sinxxx+CosXXX. Косинус + синус одного и того же значения,даже если оно означает частоты ,из тригонометрии имеют жесткое значение. Погодные условия важны,но хотелось бы,что бы статья строго отвечала своему названию. При учете более подробной привязки к генетики или практических примеров,оценка пять,Но пока четыре. Т.А.Иванова.

Выходец Александр Михайлович

Работа актуальна и может заинтересовать многих специалистов Разработан метод построения математических моделей сложных процессов на принципах генетических алгоритмов. Данный метод дает возможность синтезировать математические модели любой сложности А их в науке и в технике великое множество. Впечатляет математическая логика изложения. Некоторые графики требуют дополнительного пояснения.

Petrushenko Oleg

Очень интересная статья, по моему мнению, поскольку занимаюсь математическим моделированием процессов в електрических системах. Взял для себя на заметку некоторые данные. И хочется прокоментировать доклад, а именно на 1-м и 2-м етапах построения мат. моделей для идентификации параметров сложных систем возможность применения формул: (6) - нахождения вектора весовых коэффициентов и (22) - вектора минимизации критерия апроксимации по методу наименьших квадратов, обуславливается относительно хорошей обусловлености матриц даных. И в случаях плохой обусловлености, автор предлагает находить решение используя метод исключения Гаусса с выбором главного компонента. Однако, если размерность матрицы очень велика, то процедура нахождения, например оптимального (нормального) решения может привести к большим затратам времени вычислительного процесса, что, например, противоречит законам оптимального управления электрических систем. Возможно, следует усовершенствовать решение (6) и (22) используя методы сингулярного анализа даных, возможно даже в совокупности с теми же генетическими алгоритмами либо же методами нечеткой логики. И на последок, хочеться отметить, что представленый метод построения математических моделей сложных процессов будет уместен, возможно, даже для прогнозирования режимов электрических систем. Автору - спасибо!
Комментарии: 12

Бабаев Накибулло Хабибуллаевич

Уважаемые коллеги! Результаты исследований авторов приведенные в работе "ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИНЦИПАХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ" очень интересные и актуальные. Действительно идея применения генетических алгоритмов к построению сложных математических моделей дает возможность выбрать оптимальную по структуре адекватную модель и значительно уменьшить объем вычислений. В статье не приведена конкретная область или отрасль применения данной модели. С уважением д.т.н., проф. Бабаев Н.Х.

Заячук Ярослав

Авторы предложили вариант использования генетических алгоритмов для построения математических моделей сложных процессов. Но, как уже было отмечено, не показаны преимущества данного алгоритма над классическими. Авторам спасибо за работу. Успехов!

Артамонова Елена Николаевна

В данной работе наглядно проиллюстрировано использование генетических алгоритмов для решения задач оптимизации, которые на практике очень часто оказываются довольно сложными. Они включают целевые функции, которые могут быть и дискретными, и недифференцируемыми. Но существуют стохастические методы оптимизации, к примеру, "генетический алгоритм", во многих случаях они достаточны для нахождения нескольких решений, вполне приемлемых для решения практических задач. В одних случаях представляет интерес найти те значения параметров, при которых достигается наилучшее точное значение функции. В других случаях, как в данной статье точный оптимум не требуется - решением может считаться любое значение, при котором минимальное значение (12) критерия селекции (9) не превосходит некоторого положительного значения ?, и происходит остановка алгоритма. В этом случае, генетические алгоритмы - часто наиболее приемлемый метод для поиска "хороших" значений. В статье также прослеживается сила используемого генетического алгоритма - в его способности манипулировать одновременно многими параметрами. Для получения наиболее эффективного решения с помощью генетического алгоритма в работе правильно заданы его параметры.

Руденко Нина Павловна

Автор представил сложный подход к решению задачи. которую можно решить при помощи классических методов прикладной статистики. Например, построить тренд с сезонной компонентой. Сама по себе работа интересная, особенно при выборе весовых коэффициентов факторов.

Кайда Светлана Владимировна

Математическое моделирование процесс достаточно сложный и творческий. Данный метод действительно упрощает задачу, является оригинальным и универсальным. Спасибо автору за доклад. Желаю успехов!

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Калижанова Алия Уалиевна

В настощее время применение гененетического алгоритма к решению многих задач очень актуально.Автором предложен оригинальный подход к решению и показано практическое применение.Не рассматриваете ли возможность распараллеливания сложных вычислительных процессов?Очень ценная работа.Успехов Вам !

Иванова Татьяна Александровна

Понравилось использование в генетике и селекции полинома.так как он практически не имеет окончания,а имеет бесконечное множество продолжения комбинаций.Однако не совсем ясно применение формулы Sinxxx+CosXXX. Косинус + синус одного и того же значения,даже если оно означает частоты ,из тригонометрии имеют жесткое значение. Погодные условия важны,но хотелось бы,что бы статья строго отвечала своему названию. При учете более подробной привязки к генетики или практических примеров,оценка пять,Но пока четыре. Т.А.Иванова.

Выходец Александр Михайлович

Работа актуальна и может заинтересовать многих специалистов Разработан метод построения математических моделей сложных процессов на принципах генетических алгоритмов. Данный метод дает возможность синтезировать математические модели любой сложности А их в науке и в технике великое множество. Впечатляет математическая логика изложения. Некоторые графики требуют дополнительного пояснения.

Petrushenko Oleg

Очень интересная статья, по моему мнению, поскольку занимаюсь математическим моделированием процессов в електрических системах. Взял для себя на заметку некоторые данные. И хочется прокоментировать доклад, а именно на 1-м и 2-м етапах построения мат. моделей для идентификации параметров сложных систем возможность применения формул: (6) - нахождения вектора весовых коэффициентов и (22) - вектора минимизации критерия апроксимации по методу наименьших квадратов, обуславливается относительно хорошей обусловлености матриц даных. И в случаях плохой обусловлености, автор предлагает находить решение используя метод исключения Гаусса с выбором главного компонента. Однако, если размерность матрицы очень велика, то процедура нахождения, например оптимального (нормального) решения может привести к большим затратам времени вычислительного процесса, что, например, противоречит законам оптимального управления электрических систем. Возможно, следует усовершенствовать решение (6) и (22) используя методы сингулярного анализа даных, возможно даже в совокупности с теми же генетическими алгоритмами либо же методами нечеткой логики. И на последок, хочеться отметить, что представленый метод построения математических моделей сложных процессов будет уместен, возможно, даже для прогнозирования режимов электрических систем. Автору - спасибо!
Партнеры
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.