Перевод страницы

Approximation of implicitly expressed optimality criteria by pozynom and analysis of their sensitivity

Петр Демьянович Лежнюк, профессор, доктор технических наук, профессор

Петрушенко Олег Юрьевич, аспирант

Петрушенко Юлия Владимировна, аспирант

Винницкий национальный технический университет, Украина

Участник первенства: Национальное первенство по научной аналитике - "Украина";

The article given under the text about possibility and feasibility of a given tabular function approximation by pozynom. It is shown that if the function approximated binomial pozynom, the solution of direct and inverse problems of sensitivity obtained in an analytical form.

Keywords: given tabular function, approximation, pozynom, direct and inverse problems system.

Introduction

Characteristic feature of the problemes of systems states optimal control is that optimality criteria in mathematical models are set   in algorithmic form, since they do not have analytical expression, and can be determined only by numerical methods. This complicates the problem of analysis of optimal solutions regarding sensitivity. Inability to perform the complete analysis of optimal solutions, as a result of which   place and role of separate control devices (CD) in the process of system states optimization are determined, significantly reduces the value of the time-consuming optimization calculations. The example of such systems is electrical power system, in which optimality criterion (power losses during its transportation) has no analytical expression relatively parameters of CD [1]. The dependence of such optimality criterion on the parameters of CD can be defined and set in the form of the Table.

One of the possible ways to solve optimal control problems without analytically set efficiency function is approximation of optimality criterion in order to obtain analytical dependence on CD parameters. It should be taken into account that analytical dependence must be obtained in a form that would provide rapid and efficient technical and economic analysis of optimal solutions (sensitivity) by means of rather simple software. This is particularly important for on-line control of the systems states.

The aim of the paper is to present tabular set function in analytical form, convenient for technical-economical sensitivity analysis of optimal solution.

Approximation of tabular set function by pozynom

Taking into account the factors, influencing the efficiency of practical realization of optimal states of the system the control task is formulated in the following way:

under the conditions

where x –are  the parameters of system state; u –are the parameters of  regulating devices; W(x, u) –is constraint equation of controlling  u and controlled variables x; Mx , M- are regions of admissible values ??of  variables x and u.

The dependence F(x, u) for feasibility analysis of optimal solutions is expedient to construct in relative units when optimal varient is taken as the basic one [2]. However, since  dependences F*=f(u*j)  in analytical form can not be obtained from the equation of system state, then  computational  experiment on the computer is carried out, as a result of this experiment data, needed for approximation, are accumulated. Search of approximating formula is performed among the pozynoms of the following form:

where F*=Fj/F0, u*j=uj/u0j – are relative values of efficiency function and control variables; Fj, uj, F0, u0j –are current and basic  values of the function and control variables; aj, bj, aj, bj–are constants that form the character of the dependence and level  of  u*j    impact on the value of F*; p –is a number of control variables; m –is a number of members of approximating pozynom.

The values of coefficients aj, bj, aj, bjfor the j-th CD in (3) we obtain applying the least squares method. Then in general form the approximation of F*, for example, by binomial pozynom is reduced to the problem:

where  – are experimental and calculated values ??of the function in the l-th point; n –is a number of experimental points, which are defined by the range and degree of regulation of CD.

After simple transformations of minimization conditions of the function  R(a, b, a, b)  we obtain the system of nonlinear equations:

where r = [a, b, a, b] – is vector of  variables.

Regarding the variables a, b, a, bit is solved by  Newton method  according to the scheme:

where k –is  iteration number.

According to (5) the algorithm of the process of determination the coefficients of approximating pozynoms is developed

Evaluation of the sensitivity of optimality criterion

Having the expression for the efficiency function in relative units, in the form of  pozynom (3), we can determine the sensitivity of optimality criterion F relatively control variables u, especially, in case of deviation of  their  values from optimal ones. Fig. 1 shows the dependence  for the j-th CD. The additional increase of -optimality criterion in case of discrepancy between the value of the control variable and its optimal value is determined:

This is so-called direct problem of sensitivity. If necessary, additional increase of optimality criterion can be defined in units, in which functions are measured:

Fig. 1. Direct problem of sensitivity

Inverse problem of sensitivity is solved when admissible deviation of optimality criterion ?F*, from its optimal value is set and corresponding admissible deviations from optimal value ??of control variables ?u* must be found. This problem is illustrated in Fig. 2.

Fig. 2. Inverse problem of sensitivity (du*, du*+ – lower and upper admissible deviation of control variable from its optimum value)

The equation for determining boundary values of control variables is:

Since one ?F can correspond several ?u, then the inverse problem of sensitivity refers to the ill-posed problems. Let us solve it as follows. Divide both parts of equation (7) into 1+?F*.

We obtain:

In (8)  - are relative portions of the components of the efficiency function or similarity criteria of optimal control process [3, 4]. As it can be seen from (8)

?1+ ?2 =1. (9)

The last equation is the expression of normalization condition. Similarity criteria or weight coefficients ? represent the fraction of each component of the efficiency function in its optimal value .

From (8) it follows that between and u*j there exists direct connection:

Similarity criteria ?1 and ?2 can be found by using the results of the solution of the dual problem [4]

under the conditions

From the system (12) we have

Having substituted in  (10) the  value of similarity criteria from  (13) we finally obtain

Thus, at the set value of insensitivity zone of optimality criterion  ?F* the area of equieconomicvalues of  ??control variables is within the limits of  for the j-th CD. Solution of the inverse problem is obtained in analytical form due to approximation of efficiency function by pozynom.

Conclusions

1. Functions that have no analytical expression, but can be set in tabular form, can be approximated by pozynom. Pozynom coefficients are determined by the method of least squares using standard procedures for solution of nonlinear equations systems.

2. Functions approximation by pozynom has certain advantages. In particular, if it is used to analyze the sensitivity of optimal solution. Thus, the solution of the inverse problem of sensitivity is obtained in analytical form when admissible deviation of optimality criterion   from its optimal value is set  and it is necessary  to determine  corresponding  values ??of control variables.

References:

1. Ornov VH, Rabinowitz M.A  Tasks of On –Line  and Automatic Control of Energy systems . - M.: Energoatomizdat, 1988. - 233 p.

2. Lezhnyuk PD Sensitivity analysis of optimal solutions in complex systems by  criterial method: Monograph. - Vinnitsa: Universum-Vinnitsa, 2003. - 131 p.

3. Venykov VA Similarity theory and modeling. - M.:Higher School, 1976. -479 P.

4. R. Duffin, E. Peterson., Zener K. Heometric programming. Trunslated from  English. - Moscow: Mir, 1972. - 312 p.

Комментарии: 19

Заячук Ярослав

Задачи оптимизации весьма актуальны для технических систем. В докладе предложен способ формулирования такой задачи. Авторам спасибо. Успехов!

Горбийчук Михаил Иванович

Метод описан в статье относится к более широкому классу задач чем те, которые указаны в названии статьи. Авторы используя аппарат эмперического моделирования, получили модели, дающие возможность сформулировать задачу оптимального управления в аналитическом виде. Примененный авторами метод построения эмпирических моделей имеет тот недостаток, что не позволяет выбрать оптимальную структуру модели, а только лишь оценить ее параметры (при заданной структуре). Желательно привести пример использования результатов научного исследования. Желаю авторам успеха в этом направлении!

Кайда Светлана Владимировна

Материал изложен достаточно хорошо и ясно. Спасибо автору за доклад. Следует отметить, что с помощью данного алгоритма задача вычислений сильно упрощается. Тему нужно развивать, за ней большие перспективы. Успехов Вам.

Артамонова Елена Николаевна

In this paper: the algorithm converges to the optimal control solution without knowledge of the internal system dynamics. Closed-loop stability is guaranteed throughout. Such control structure is unlike any standard form of controllers previously seen in the literature.

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Ушкац Михаил Викторович

Представлен достаточно удобный и универсальный формализм для решения различных задач оптимизации, который позволяет проводить анализ как прямой, так и обратной чувствительности в отсутствии аналитических зависимостей от критериев оптимальности. Эти аналитические зависимости предлагается аппроксимировать позиномами (posynomials в английском варианте). Добротная и практически ценная работа.

Выходец Александр Михайлович

До сих пор было принято считать что оптимального управления является то, что критерии оптимальности в математических моделях установлены в алгоритмической форме, так как они не имеют аналитического выражения, а также может быть определено только с помощью численных методов. Авторы пошли по пути сложных математических преобразований и пришли к оценке чувствительности критериев оптимальности. Это маленькая, но победа.
Комментарии: 19

Заячук Ярослав

Задачи оптимизации весьма актуальны для технических систем. В докладе предложен способ формулирования такой задачи. Авторам спасибо. Успехов!

Горбийчук Михаил Иванович

Метод описан в статье относится к более широкому классу задач чем те, которые указаны в названии статьи. Авторы используя аппарат эмперического моделирования, получили модели, дающие возможность сформулировать задачу оптимального управления в аналитическом виде. Примененный авторами метод построения эмпирических моделей имеет тот недостаток, что не позволяет выбрать оптимальную структуру модели, а только лишь оценить ее параметры (при заданной структуре). Желательно привести пример использования результатов научного исследования. Желаю авторам успеха в этом направлении!

Кайда Светлана Владимировна

Материал изложен достаточно хорошо и ясно. Спасибо автору за доклад. Следует отметить, что с помощью данного алгоритма задача вычислений сильно упрощается. Тему нужно развивать, за ней большие перспективы. Успехов Вам.

Артамонова Елена Николаевна

In this paper: the algorithm converges to the optimal control solution without knowledge of the internal system dynamics. Closed-loop stability is guaranteed throughout. Such control structure is unlike any standard form of controllers previously seen in the literature.

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Иванова Татьяна Александровна

РАбота четкая,ясная.Видно что автор абсолютно разбирается в данной области и именно поэтому его объяснение изложенного материала звучит убедительно и приведенные формулы опираются на строгую математическую логику. отлично. Т.А.Иванова

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Калижанова Алия Уалиевна

Очень интересная работа!Желаю Вам успехов в дальнейших исследованиях!

Ушкац Михаил Викторович

Представлен достаточно удобный и универсальный формализм для решения различных задач оптимизации, который позволяет проводить анализ как прямой, так и обратной чувствительности в отсутствии аналитических зависимостей от критериев оптимальности. Эти аналитические зависимости предлагается аппроксимировать позиномами (posynomials в английском варианте). Добротная и практически ценная работа.

Выходец Александр Михайлович

До сих пор было принято считать что оптимального управления является то, что критерии оптимальности в математических моделях установлены в алгоритмической форме, так как они не имеют аналитического выражения, а также может быть определено только с помощью численных методов. Авторы пошли по пути сложных математических преобразований и пришли к оценке чувствительности критериев оптимальности. Это маленькая, но победа.
Партнеры

Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.