facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Wiki
Global international scientific
analytical project
GISAP
GISAP logotip
Перевод страницы
 

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КУМУЛЯНТНОГО АНАЛИЗА

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КУМУЛЯНТНОГО АНАЛИЗА
Лилия Чупахина, аспирант

Наталья Киреева, доцент, кандидат технических наук, доцент

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Россия

Участник конференции

В данной статье рассматривается применение кумулянтного анализа для исследования плотности вероятности распределения в мультисервисной сети. Возможность ее представления через кумулянты позволяет учесть свойства самоподобия трафика.

Ключевые слова: система массового обслуживания, трафик, моменты функций, кумулянты, распределение с «тяжелым» хвостом.

In this article application of the cumulant analysis for research of density of probability of distribution in a multiservice network is considered. Possibility of its representation through cumulants allows to consider properties of self-similarity of a traffic.

Keywords: queuing system, the traffic, the moments of functions, cumulants, the distribution of «heavy» tail.

 

В современных телекоммуникационных сетях мультисервисный трафик часто описывается с помощью распределений с «тяжелыми» хвостами, которые позволяют рассматривать в качестве модели системы массового обслуживания систему типа G/G/1.

На практике, при исследовании реальных систем, редко бывают известны законы распределения и обслуживания поступающего на вход системы трафика. Исследование основывается на представлении распределения времени обслуживания – плотностью вероятности, которая в свою очередь представлена с помощью аппроксимации по средством кумулянтного анализа. Подобный подход обладает рядом преимуществ, поскольку кумулянтные функции имеют четко выраженный самостоятельный статистический смысл и могут быть заданы в определенной степени независимо друг от друга.

Рассмотрим аппроксимацию плотности вероятности в ряд Эджворта, дающего разложение произвольной плотности вероятности по производным гауссовскогораспределения.

W(x) = WГ(x)-(?3/3!)WГ(3)(x)+(?4/4!)WГ(4)(x)-(?5/5!)WГ(5)(x)+(?6+10 ?32/6!)WГ(6)(x).        (1)

где WГ(k)- производные плотности нормальной функции.

В результате полученную плотность вероятности сравним с известными характеристиками трафика, передающегося по мультисервиной сети.

Для исследования возьмем функцию распределения с «тяжелым» хвостом (распределение Вейбулла), по закону которого будет поступать трафик на вход сетевого элемента.

Функция распределения Вейбулла имеет вид:

F(x) = 1-e-(x/?)?, x>0, ?> 0, ?> 0,               (2)

где ?- параметр формы, ?- масштабный параметр.

Плотность распределения Вейбулла имеет следующий вид (рисунок 1):

f(x)=??-?x?-1e-(x/?)?.                   (3)

Рисунок 1. Функция плотности распределения Вейбулла при ?=10 и ?=25.

 

Известно, что моменты mk случайной величины x распределения Вейбулла имеют вид:

mk= ?k/? Г(1+k/?),(4)

где Г(z) - гамма функция.

Для полного описания W(x) найдем шесть первых моментов из выражения (4).

Связь между кумулянтами и моментами распределений задается соотношениями:

?1= m1, ?2= m2-m12, ?3= m3-3m1m2+2m13,

?4= m4-2m22-4m1m3+12 m12m2-6m14,

?5= m5-5m1m1-10m2m3+20m12m3+30m1m22-60m13m2+24m15,

?6=m6-6m1m5-15m2m4+30m12m4-10m32+120m1m3-120m13m3+30m23-270m12m22+

+360m14m2-120m16. (5)

Исходя из вышесказанного, можем разложить функцию в ряд Эджворта (1). Из выражения (1) непосредственно видна особая ценность кумулянтов при оценке отклонения плотности вероятности от гауссовского распределения.

Для выбранных значений ? и ? с учетом соотношений (4) и (5) можно получить аппроксимацию распределения (3) в виде, представленном на рисунок 2.

Рисунок 2. Сравнение двух плотностей распределения Вейбулла.

При построении полученных плотностей распределения (рисунок 2) учтено, что аппроксимирующее выражение для плотности должно удовлетворять условию нормировки.

Таким образом, полученная аппроксимация функции плотности распределения Вейбулла с помощью кумулянтов позволяет сравнить ее с теоретическим распределением и в дальнейшем оценить погрешность отклонений.

Исследование функции плотности распределения с помощью кумулянтного анализа позволяет учесть свойства самоподобия трафика и процесса обслуживания. На практике наиболее просто реализуется вычисление моментов интервалов времени между пакетами и интервалов времени обслуживания. После получения оценок плотностей вероятности, указанных распределений оценки характеристик узла обработки могут быть получены численным (или приближенным) решением уравнения Линдли.

 

Литература:

  1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. М., Советское радио, 1978, 376 с.
  2. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Справочник по теории вероятностей и математической статистике, Изд-во Наука, М., 1985, 640 с.
  3. Шелухин, О.И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях./ О.И. Шелухин, A.M. Тенякшев, А.В. Осин М.: Радиотехника, 2003, 480 с.
  4. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Перевод с англ. /Пер. И. И. Грушко; ред. В. И. Нейман – М.: Машиностроение, 1979. – 432с.
Комментарии: 2

Деревянкин Павел Андреевич

Да, оригинальный вид распределения вероятностей случайных величин.

Выходец Александр Михайлович

Достаточно новая и актуальная работа. Автор неплохо владеет аппаратом математической логики и информатики, сумел испоьзовать это в области связи. Справедливо отмечено, что иследование функции плотности распределения с помощью кумулянтного анализа позволяет учесть свойства самоподобия трафика и процесса обслуживания.
Комментарии: 2

Деревянкин Павел Андреевич

Да, оригинальный вид распределения вероятностей случайных величин.

Выходец Александр Михайлович

Достаточно новая и актуальная работа. Автор неплохо владеет аппаратом математической логики и информатики, сумел испоьзовать это в области связи. Справедливо отмечено, что иследование функции плотности распределения с помощью кумулянтного анализа позволяет учесть свойства самоподобия трафика и процесса обслуживания.
Партнеры
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.