Page translation

# Stability of the pillar with variable cross section and the modulus of elasticity in the length

Sargsyan Henrik, doctor of technical science, doctor of agricultural science, full professor

Armen Kazaryan,

Armenian National Agrarian University, Armenia

Championship participant: the National Research Analytics Championship - "Armenia";

the Open European-Asian Research Analytics Championship;

UDC 624.097.04

Keywords: pillar, design, elastic modulus, cross-section, length

The study of herbaceous plants stems design revealed that they have a high stability. This is explained by the fact that the objects of nature from the point of view of structural mechanics are rather sophisticated. Taking into account the structural features of the stems of plants one can design such pillars the structural properties of which are close to the construction of plants that allows  get the best solutions. In the article the pillar with variable cross-section and the modulus of elasticity in height is studied. The figure shows the design scheme.

Design scheme.

In our case, we denote the change in the modulus of elasticity and the front section of height:

,                                                                                              (1)

Consequently, the stiffness of bent axis is expressed by the following exponential function

,                                                                              (2)

In which D is curved stiffness of the section of the base portion

The differential equation of the bent axis will be:

In which  is distribution function of the weight of the rack.

Suppose that the dead weight of pillar is changed by quadratic function:

Hence (3) takes the following form:

(4)

After differentiating (4) we get

(5)

Because  –the angle of pillar bending and keeping in mind that

Equation (5) takes the following form:

(6)

On the other hand, replacing   and differentiating twice

, by (b) we obtain

(7)

The expression (7) is given in the form of a differential equation of Euler, divided into tand denoted :

After the integration (8) we get:

(8)

,                                                                              (9)

In which

Using  and integrating (9) we obtain the value of the pillar deflection.

:                                                                  (10)

Equality (10) can be simplified:

(11)

In which  are integration constants, which are determined from the following two conditions.

1. when ,  2. when :                                                  (12)

Using the end conditions,

and the joint solution, we get                                                                                  (13)

The stability condition can be represented by the determinant

(14)

After the solution we obtain:, or ,

Therefore,                                                                     ;                                                                                                      (15)

The critical force will be

,                                                                                (16)

In which EI is the bending stiffness of the cross section of the pillar.

For the analysis of the obtained result let us consider the case when the elastic modulus of the pillar in height is a constant.

Therefore, :

The differential equation of the bent axis in this case will be the following:

.                                                                              (17)

Integrating (17) we will obtain

,                                                                          (18)

Again using the  bond, from (18) we obtain

.                                                                       (19)

In expressions  and  are the Bessel functions of the first and second order.

Since the function  does not meet the conditions of the problem when

x=l, (t=1), hence the equations   (18) and (19) will be the following

and

.                                                                                    (20)

To verify the stability it is necessary to use the following expression.

.                                                                                          (21)

From (21) we obtain ,

Simultaneously

hence    ,                                                                                                                                                                                     (22)

or     .

For comparison, for the second case we take   as the average modulus of elasticity

.

Thus the critical force of a pillar with variable modulus of elasticity decreases nearly twice. If we compare it with the critical force of a pillar of uniform cross section and the modulus of elasticity, we obtain that the critical force of a pillar with variable cross section and modulus of elasticity will be relatively larger /1.33/,because in this case

References:

• 1.  Саркисян Г.М., Хуршудян Н.П. Архитектоника камыша озерного // Биолог. журн. Армении - 1988 г. - N2(41) - с. 137-141.
• 2.  Саркисян Г.М., Хуршудян Н.П. Архитектоника стебля подсолнечника // Биолог. журн. Армении - 1989г.-N7(42)-с. 659-662.
• 3.  Саркисян Г.М. Архитектоника стебля табака // Технические средства для интенсивных технологий с.х. производства: Сб. науч. трудов МИИСП – 1992,  с. 19-24.

## Ruslan Abdulov

Актуальная работа для теории сооружений и строительных конструкций, ждем продолжения!

## Kissamedin Guljan Mustahkyzy

The topic has deeply interested me, but unfortunately I do not have enough expertise to be able to understand the processes you have used in your analysis. It would have been great if one could see illustrations of possible applications. Anyway I've highly rated the article since I think that new ingeneering solutions are crucial for modern construction. regards G.M.

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллега! Благоарью Вас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Elena Artamonova

Интересная работа по возможности применения бионического принципа и для создания, например, природоподобной формы зданий, и для проектирования несущих конструкций. Заслуживает высокой оценки. Замечания по оформлению работы (сбои при ее загрузки?), например: пропущен №3 в статье для обозначения формулы изогнутой оси стержня (незначительная мелочь); но досадно-отсутствие выражения критической силы Эйлера (15), ради которого и решалась поставленная в работе задача. И поэтому для нас остался ненагляден вывод об уменьшении критической силы Эйлера столба при переменном модуле упругости.

## Sargsyan Henrik

Уважаемая Елена Николаевна! Выражение критической силы отражено в формуле (16) и является основой для сопоставления балок с переменным модулем упругости. С уважением Саркисян Генрих, Казарян Армен.

Классическое понятие устойчивости связано с движением выходной координаты системы, то есть является решением дифференциального уравнения n-го порядка. В связи с этим у автора работы получается своя трактовка понятия устойчивости. На странице 5 представлен детерминант. По условиям устойчивости он составляется из коэффициентов характеристического уравнения объекта, который не показан в работе.

## Sargsyan Henrik

Уважаемый господин Адамбаев! Коэффицценты характеристического уравнения не приведены для экономии обьема статьи. С уважением Саркисян Г.М, Казарян Армен.

## Taratin Vjacheslav Victorovich

Уважаемы коллеги, очень добротная статья, выполнена на хорошем методическом уровне. Да есть вопросы по допущениям в модели. Думаю в развитии работы эти вопросы отпадит. Я сам казаюсь вопросов математического моделирования и оптимизации сложных пространственных систем и представляю сложность задачи, которую Вы решаете Желаю авторам дальнейших творческих успехов! С уважением, Вячеслав Викторович Таратин

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллеги! Благоарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Elina Khobotova

Уважаемые автора! Интересна постановка задачи, сделанная Вами, и подход к расчетам. Надеюсь, что полученные результаты найдут своего "потребителя" на производстве. Желаю Вам дальнейших успехов. С уважением проф. Э.Б. Хоботова

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллеги! Благодарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Treschalin Michail Yuriyevich

Уважаемые коллеги! В уравнении (1) показатель степени 4. Почему именно 4? Есть ли обоснование выбора квадратичной функции для описания изменения собственного веса столба? В целом, с математикой все четко. С физикой, граничными условиями и принятыми допущениями - вопросы. Кроме того, задача прикладная. Это следует из первых фраз. Любопытно: где, для чего нужна предложенная Вами мат. модель и какова ее точность. По хорошему, надо сопоставление с экспериментом. Думаю, продолжение следут. С уважением М.Ю. Трещалин.

## Sargsyan Henrik

Уважаемый господин Трещалин! Благодарью Вас за проявленный интерес к нашей статье. В уравнении (1) изменения геометрической жескости сечения колонны по его длине, как полагается, взято произвольно, близко к реальным условиям. Ранее, нами были проведены эксперименты на образцах из композитов (углепластик) результаты которых были близки к теоретическим. Продолжение исследований в этом направлении продолжаются. -- С благодарностью, Саркисян Г.М., Казарян А.И.

## Babayev Naqibullo Habibullayevich

Уважаемые авторы, представленная Вами работа очень интересна как в научном плане, так и в практическом плане. У нас (имею ввиду науки строительной механики стран СНГ), вопросы строительной механики на примере природных явлений мало изучены. Мне приходилось знакомится с некоторыми обзорами японских, китайских, американских и корейских исследователей. Думаю что проводимые вами исследования внесет определенную лепту в развитие строительной механики и в будущем проектированию и строительству высотных сооружений(типа небоскребов). Желаю творческих успехов, с уважением проф. Накибулло Бабаев

## Sargsyan Henrik

Уважаемый Накибулло Хабибуллаевич! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Simonian Geworg

Уважаемые коллеги из Национального аграрного университета. Хорошая статья на стике механики, биологии и дизайна.Успехов. к.х.н. Геворг Саркисович.

## Sargsyan Henrik

УважаемыйГеворг Саркисович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Gorbiychuk Mikhail

Уважаемые авторы! Статья интересна в научном плане. Авторам следовало бы указать область применения проведенных теоретических исследований, а также провести анализ выполненных работ другими авторами по данной тематики. С уважением проф. М. Горбийчук

## Sargsyan Henrik

Уважаемый Михаил Иванович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Ruslan Abdulov

Актуальная работа для теории сооружений и строительных конструкций, ждем продолжения!

## Kissamedin Guljan Mustahkyzy

The topic has deeply interested me, but unfortunately I do not have enough expertise to be able to understand the processes you have used in your analysis. It would have been great if one could see illustrations of possible applications. Anyway I've highly rated the article since I think that new ingeneering solutions are crucial for modern construction. regards G.M.

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллега! Благоарью Вас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Elena Artamonova

Интересная работа по возможности применения бионического принципа и для создания, например, природоподобной формы зданий, и для проектирования несущих конструкций. Заслуживает высокой оценки. Замечания по оформлению работы (сбои при ее загрузки?), например: пропущен №3 в статье для обозначения формулы изогнутой оси стержня (незначительная мелочь); но досадно-отсутствие выражения критической силы Эйлера (15), ради которого и решалась поставленная в работе задача. И поэтому для нас остался ненагляден вывод об уменьшении критической силы Эйлера столба при переменном модуле упругости.

## Sargsyan Henrik

Уважаемая Елена Николаевна! Выражение критической силы отражено в формуле (16) и является основой для сопоставления балок с переменным модулем упругости. С уважением Саркисян Генрих, Казарян Армен.

Классическое понятие устойчивости связано с движением выходной координаты системы, то есть является решением дифференциального уравнения n-го порядка. В связи с этим у автора работы получается своя трактовка понятия устойчивости. На странице 5 представлен детерминант. По условиям устойчивости он составляется из коэффициентов характеристического уравнения объекта, который не показан в работе.

## Sargsyan Henrik

Уважаемый господин Адамбаев! Коэффицценты характеристического уравнения не приведены для экономии обьема статьи. С уважением Саркисян Г.М, Казарян Армен.

## Taratin Vjacheslav Victorovich

Уважаемы коллеги, очень добротная статья, выполнена на хорошем методическом уровне. Да есть вопросы по допущениям в модели. Думаю в развитии работы эти вопросы отпадит. Я сам казаюсь вопросов математического моделирования и оптимизации сложных пространственных систем и представляю сложность задачи, которую Вы решаете Желаю авторам дальнейших творческих успехов! С уважением, Вячеслав Викторович Таратин

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллеги! Благоарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Elina Khobotova

Уважаемые автора! Интересна постановка задачи, сделанная Вами, и подход к расчетам. Надеюсь, что полученные результаты найдут своего "потребителя" на производстве. Желаю Вам дальнейших успехов. С уважением проф. Э.Б. Хоботова

## Sargsyan Henrik

Уважаемые коллеги! Благодарью Бас за положительную оценку статьи. С уважением Саркисян Г.М., Казарян Армен.

## Treschalin Michail Yuriyevich

Уважаемые коллеги! В уравнении (1) показатель степени 4. Почему именно 4? Есть ли обоснование выбора квадратичной функции для описания изменения собственного веса столба? В целом, с математикой все четко. С физикой, граничными условиями и принятыми допущениями - вопросы. Кроме того, задача прикладная. Это следует из первых фраз. Любопытно: где, для чего нужна предложенная Вами мат. модель и какова ее точность. По хорошему, надо сопоставление с экспериментом. Думаю, продолжение следут. С уважением М.Ю. Трещалин.

## Sargsyan Henrik

Уважаемый господин Трещалин! Благодарью Вас за проявленный интерес к нашей статье. В уравнении (1) изменения геометрической жескости сечения колонны по его длине, как полагается, взято произвольно, близко к реальным условиям. Ранее, нами были проведены эксперименты на образцах из композитов (углепластик) результаты которых были близки к теоретическим. Продолжение исследований в этом направлении продолжаются. -- С благодарностью, Саркисян Г.М., Казарян А.И.

## Babayev Naqibullo Habibullayevich

Уважаемые авторы, представленная Вами работа очень интересна как в научном плане, так и в практическом плане. У нас (имею ввиду науки строительной механики стран СНГ), вопросы строительной механики на примере природных явлений мало изучены. Мне приходилось знакомится с некоторыми обзорами японских, китайских, американских и корейских исследователей. Думаю что проводимые вами исследования внесет определенную лепту в развитие строительной механики и в будущем проектированию и строительству высотных сооружений(типа небоскребов). Желаю творческих успехов, с уважением проф. Накибулло Бабаев

## Sargsyan Henrik

Уважаемый Накибулло Хабибуллаевич! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Simonian Geworg

Уважаемые коллеги из Национального аграрного университета. Хорошая статья на стике механики, биологии и дизайна.Успехов. к.х.н. Геворг Саркисович.

## Sargsyan Henrik

УважаемыйГеворг Саркисович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.

## Gorbiychuk Mikhail

Уважаемые авторы! Статья интересна в научном плане. Авторам следовало бы указать область применения проведенных теоретических исследований, а также провести анализ выполненных работ другими авторами по данной тематики. С уважением проф. М. Горбийчук

## Sargsyan Henrik

Уважаемый Михаил Иванович! Приношу благодарность за Ваш отзыв. Обязательно учту Ваши замечания. С уважением проф. Саркисян Генрих Мушегович.
PARTNERS

Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.