facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Page translation
 

АНАЛИЗ КОРОТКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА

diplomdiplom
Malyutina Elena, postgraduate student

Elena Malyutina

Shiryaev Vladimir Ivanovich, head of a chair, doctor of technical sciences, full professor

South Ural State University, Russia

Championship participant: the National Research Analytics Championship - "Russia";

the Open European-Asian Research Analytics Championship;

В статье рассматривается применение аппарата нелинейной динамики к исследованию и моделированию процессов с хаотической динамикой. В работе приведены критерии наличия детерминированного хаоса, определены общие этапы построения моделей временных рядов. Рассматривается один из путей повышения качества прогноза за счет дополнительной аппроксимации ряда остатков комбинацией детерминированных систем с хаотическими решениями.

Ключевые слова: временные ряды, прогнозирование, нелинейная динамика, детерминированный хаос

The article deals with the research and modeling of the process with chaotic dynamics by the methods of nonlinear dynamics. The paper presents the criteria for deterministic chaos and general stages of the modeling of time series. We review one of the ways to improve the quality of the forecast due to the approximation of residues by the combination of deterministic systems with chaotic dynamics.

Keywords: time series, forecast, nonlinear dynamics, deterministic chaos.

Разразившийся мировой финансово-экономический кризис, наступление которого стало для многих неожиданностью, остро поставил вопрос о возможностях экономического прогнозирования, о способности науки адекватно описывать сложные социальные процессы и предсказывать их развитие. Возникла необходимость использования научного инструментария, основанного на методах нелинейной динамики, экономической синергетики, нацеленных на описание неравновесных процессов, на анализ закономерностей разрушения старых и формирования новых социально-экономических структур. Особенностью, присущей исключительно нелинейным системам, является возможность реализации в них множества различных вариантов развития, которые зависят от начального состояния, параметров системы и случайных возмущений. Ранее неточность прогнозов при использовании методов математической статистики объяснялась влиянием случайных факторов. Однако наблюдаемые статистические характеристики таких случайностей («толстые хвосты» распределений, острые пики) являются следствием функционирования детерминированной динамической системы.

Этапу прогнозирования предшествует итеративная процедура построения математической модели, основанная на идентификации, оценивании и диагностической проверке. Основные этапы моделирования можно представить в виде следующей схемы (рис. 1).


Рисунок 1 – Типовая схема процесса эмпирического моделирования

На ключевом этапе 2 формируется структура модели. Будем говорить о конечноразностных уравнениях xn+1=f(xn,c) (1) или обыкновенных дифференциальных уравнения  (2), где XD-мерный вектор состояния, f? – вектор - функции, cP-мерный вектор параметров, nдискретное время, – непрерывное время. Во-вторых, задается вид входящих в них функций (скалярных компонент функций f, ?). В-третьих, устанавливается связь динамических переменных (компонент вектора x) с наблюдаемыми величинами . В качестве переменных могут выступать сами наблюдаемые величины, но в более общем случае эту связь задают в виде =h(x), где называют измерительной функцией. Часто вводят еще случайную добавку =h(x)+, чтобы учесть измерительный шум. Чтобы сделать модель более реалистичной, случайную добавку вводят нередко и в сами уравнения (1) или (2) – так называемый динамический шум. Ввиду отсутствия априорной информации функции f,? можно определять с помощью локальной аппроксимации, задавать в виде полиномов, либо использовать универсальные подходы, например, нейронные сети, либо для аппроксимации временного ряда использовать детерминированную систему с хаотическими решениями, а также линейную комбинацию таких систем.

Под идентификацией модели подразумевается использование любой информации о том, как были получены рассматриваемые числовые значения (как был сгенерирован ряд), с целью отыскания набора экономичных моделей. Под оцениванием подразумевается процедура получения оценок параметров моделей, определяющих адекватность моделей, так как неадекватность выбранной модели может быть вызвана неэффективностью процедуры оценки параметров модели, а не тем, что неадекватен вид модели. Под диагностической проверкой подразумевается проверка согласования подогнанной модели с исходными данными, чтобы определить недостатки и улучшить модель.

Наиболее часто динамический ряд рассматривается как сумма детерминированной (трендовой), сезонной (периодической) и случайной компонент. Детерминированная составляющая выражается некоторой аппроксимирующей функцией (явно или неявно заданной), отражающей закономерности развития исследуемой системы. Сезонная компонента включает в себя все периодические изменения внешних характеристик системы и, по сути, является также детерминированной (аппроксимирующими являются периодические функции). Появление случайной компоненты определяется влиянием неизвестных факторов, шумами в системе и измерениях, что находит свое выражение в отклонении значений показателей системы от основной тенденции развития. Дополнительный вклад вносит и аппроксимирующая модель, которая не в состоянии описать все особенности системы. С целью улучшения качества прогноза в работе предлагается аппроксимировать ряд остатков линейной комбинацией детерминированных систем с хаотическими решениями.

Задача выделения сезонной компоненты состоит из двух этапов: определение частоты и периода сезонных колебаний (частотный анализ) и определение параметров периодических функций, описывающих сезонные колебания.

Основным инструментом, которым пользуются при частотном анализе временных рядов, является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Для одномерной временной последовательности  ДПФ определяется следующим образом:

    (3)

Дискретным рядом Фурье называется разложение: 

    (4).

На основании частотного анализа можно определить слагаемые с наибольшей амплитудой периодических колебаний. Вероятнее всего это будет серия слагаемых с кратными периодами колебаний: . Сумму этих слагаемых будем называть сезонной составляющей с периодом T.

Поскольку распределения с толстыми хвостами наблюдаются у многих реальных систем, что часто являются доказательством наличия в них долговременной памяти, то есть возможности детерминированного описания. Для того чтобы достаточно состоятельно анализировать такие системы потребовалась непараметрическая статистика, которая не выдвигает предварительных гипотез о форме закона распределения. R/S-анализ (метод нормированного размаха) – это один из методов классификации временных рядов, основанный на вычислении фрактальной статистики данных называемой показателем Херста. Метод устойчив, содержит минимальные предположения о системе, генерирующей ряд, и как следствие получил широкое распространение при анализе прогнозируемости временных рядов.

Показатель Херста определяется через размах R значений временного ряда на отрезке времени  и рассчитанное для этого отрезка стандартное отклонение S следующим образом:  (5). Выделяют следующие типы временных рядов в зависимости от значения показателя Херста: антиперсистентные , случайные , персистентные временные ряды .

Предположим, что временной ряд порождается некоторой динамической системой в соответствии с уравнениями:  (5). Здесь  – вектор состояния динамической системы, закон эволюции которой определяется векторным отображением f – вектор измерений, координаты которого представляют собой либо наблюдения за одной из переменных вектора состояния, либо некоторую линейную комбинацию от них в соответствии с видом матрицы G – вектор шумов возникающих в системе  – вектор помех в измерениях,  – вектор параметров, N – длина ряда. Задача состоит в том, чтобы по имеющимся наблюдениям временного ряда восстановить фазовую траекторию и закон эволюции динамической системы, которая порождает исследуемый ряд. В качестве способа задания вектора состояния в фазовом пространстве может быть использован метод последовательного дифференцирования его 

Реальные динамические системы с течением времени меняют свои свойства. Для этого переменные вектора параметров  представляем как дополнительные наблюдаемые координаты вектора состояния xk (7).

В реальных системах присутствуют возмущения и данные измеряются с ошибками, поэтому возникает необходимость фильтрации данных. В качестве процедуры фильтрации предлагается фильтр Калмана.

Построение прогноза будущих значений ряда проводится в соответствии со следующими выражениями: .

Одним из путей повышения качества процедуры прогнозирования является дополнительная аппроксимация ряда остатков комбинацией детерминированных систем с хаотическими решениями в случае наличия в нем признаков детерминированных хаоса. В качестве примера систем с такими решениями рассматриваются, например, система Ресслера  (10) и логистическое отображение.

В качестве критериев наличия признаков детерминированного хаоса в исследуемом процессе следует рассматривать показатель Херста, спектр мощности частот, гистограмму ряда. Хаотический сигнал в спектре колебаний представляется сплошной полосой только на некотором узком интервале частот, тогда как для случайного процесса – по всей ширине диапазона частот. Для хаотических процессов типичны толстые хвосты и вытянутая форма колокола кривой распределения.

Рассмотрим линейную комбинацию двух логистических отображений, когда параметры отображения и весовые коэффициенты неизвестны:

 где  - хаотическое решение системы,  – вектор измерений, – весовые коэффициенты,  – параметр логистического отображения,  – шумы в измерениях. При оценке параметров модели (11) возникает задача условной оптимизации:

 (12)

В результате экспериментов получены оценки значения параметров модели (11)  при наличии шумов в измерениях и ошибок в оценке начальных значений параметров . При  и величине  ошибка оценивания параметров не превышает 10%.

Проверенный в ходе работы с модельной системой алгоритм действий применим для оценивания параметров динамической системы, порождающий временной ряд подключения сотовой связи. Число подключений характеризует поведение большой массы людей на рынке телекоммуникационных услуг и представляет собой достаточно сложный процесс.

Особенностью исходных данных о величине подключений абонентов является наличие в них недельных колебаний с достаточно большой амплитудой. Наблюдается направленное движение значений ряда показатель Херста H=0,7393, поэтому требуется предварительная обработка имеющихся данных. В результате выделения недельной составляющей показатель Херста стал равным 1,0336. Этот ряд будем считать рабочим (рис.2).

Рисунок 2 – Динамика подключений после выделения недельной составляющей

Для формирования координат вектора состояния динамической системы, порождающий исследуемый временной ряд, использован метод последовательного дифференцирования. Для выборки N=100 исходного временного ряда построено множество предсказаний. Средняя ошибка прогноза составила 7,92%.

Рисунок 3 – Шаговые прогнозы

Для повышения качества построения модели модель для ряда остатков ek от аппроксимации ряда подключений строим в виде решений суммы логистических отображений:  (13), где  - хаотическое решение, которе имеет место в модели (11).

На первом этапе из интуитивных предположений в качестве слагаемых суммы выбираются решения m=3 логистических уравнений с параметрами  и  и начальными условиями . По методу наименьших квадратов находятся оценки коэффициентов разложения. В результате первого этапа показатель Херста для ряда  стал равным 0,4492.

На втором этапе при фиксированных значениях  проводится оптимизация по значениям  с точностью , в результате чего получены следующие значения: и . На рис.4 представлен ряд остатков после аппроксимации на первом этапе и его аппроксимация на втором этапе. Показатель Херста после выполнения 2 этапа стал равным 0,4820, полученный ряд остатков по своим свойствам близок к случайному. Следовательно, полученный в результате решения задачи оптимизации ряд остатков приближен по своим свойствам к белому шуму, дальнейшую аппроксимацию проводить не имеет смысла.

Рисунок 4 – Ряд остатков этапа 1(–) и его аппроксимация(---)

 

Литература:

  • 1. Калман Р.Е. Идентификация систем с шумами // Успехи мат. наук. – 1985. – Т. 40. Вып. 4 (244). – С. 27–41.
  • 2. Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса // Успехи физических наук. – 2010. – Т. 180, №12. – С. 1305–1329.
  • 3. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. – М.: КомКнига, 2006. – 280 с.
  • 4. Манкевич Е.И., Ширяев В.И. О задаче оценивания параметров моделей систем с хаотическими решениями// Стратегическое планирование и развитие предприятий. Матер. десятого Всеросс. симпоз. – М.: ЦЭМИ РАН, 2009. – Секция 2. – С. 122–124.
  • 5. Никульчев, Е.В. Моделирование систем с нелинейной динамикой на основании экспериментальных данных / Е.В. Никульчев // Мехатроника, автоматизация, управление.  2006.  №5.  С. 6-11.
  • 6. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. – М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с.
  • 7. Тутубалин В.Н. Эконометрика: образование, которое нам не нужно. – М.: Фазис, 2004. – 168 с.
  • 8. Haykin S. Kalman filtering and neural networks. – New York: Wiley, 2001. – 284 p.
  • 9. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow// Journal of the Atmospheric Sciences. – 1963. – Vol. 20, Issue 2. – P. 130–141.
  • 10. Voss, H.U. Nonlinear dynamical system identification form uncertain and indirect meansurements / H.U. Voss, J. Timmer // Int. J. of Bif. and Chaos. 2004.  №6.P. 1905-1933.
0
Your rating: None Average: 5.8 (39 votes)
Comments: 15

Галиева Гульназ Физратовна

Характеризуя в целом необходимо отметить, что избранная автором логика исследования, последовательность позволяет глубоко и качественно раскрыть тему.

Asanova Natalia Aleksandrovna

Автор статьи, исходя из источника, проделал большую практическую работу, которая заслуживает высокой оценки. Работа информативна и научно перспективна. Успехов в дальнейшей научной работе!

Nabiyev Alpasha Alibek

Ваша работа выполнена на высоком научном уровне и также имеет практическое значение в области прикладной статистики и теории случайных функций

Zulfugarzade Teymur El'darovich

В представленной на рассмотрение работе исследована весьма актуальная проблема, представляющая неподдельный интерес для современной экономической науки. Работа заслуживает высокой оценки.

Shatalova Alevtina Yurievna

Статья содержательная. Но все же много общепринятых фактов. Тема показалась очень актуальной. И еще - литература есть, а в тексте ссылок на нее вроде нет.

Stepanova Vera Vladimirovna

Работа заслуживает похвалы в части разработки практической модели, но недостаточно проиллюстрирована возможность применения в прогнозировании конкретных экономических процессов. С ув. Степанова В.В.

Vykhodets Aleksander Mihaylovich

Настоящая научная статья, Ее немногие положения теоретически обоснованы и подкреплены расчетами.Работа вносит определенный вклад в моделирование производственных процессов. Следовало более полно остановиться на проблемах прогнозирования Думаю, в дальнейшем автор получит практический результат.

Asanova Natalia Aleksandrovna

Автор статьи, исходя из источника, проделал большую практическую работу, которая заслуживает высокой оценки. Работа информативна и научно перспективна. Успехов в дальнейшей научной работе!

Khachpanov Giya Viacheslavovich

Стоило бы добавить, что приведённый математический анализ не столь сложен в современных условиях так как расчёты легко обработать с помощью современных технологий. Также согласен с комментарием Владимира на счёт концовки.

Osinovskaya Irina Vladimirovna

Работа является достаточно актуальной, так как решение вопроса повышения точности результатов процесса прогнозирования на практике достаточно востребовано. Необходимо согласиться с комментарием коллеги, что не хватает авторских рекомендаций практического использования предлагаемого подхода, направленных на руководителей различных предприятий. Однако по нашему мнению данный подход основан только на ретроспективном анализе и не учитывает факторы внешней среды не нашедшие отражения в периоде наблюдения. При принятии практических управленческих решений данный аспект является достаточно значимым. Возможно данному вопросу автор уделит внимание в дальнейших исследованиях. Желаем творческих успехов! С уважением, Осиновская Ирина, Ленкова Ольга

Chernyak Vladimir ivanovich

Работа без сомнения актуальная, профессионально выполненная и имеющая перспективу развития. Не хватает "маленькой изюминки" - концовки: каков следующий шаг исследований, либо - какой вывод из полученного результата может сделать "практик", например руководитель телекоммуникационной компании. Творческих успехов, с уважением Черняк Владимир.

Kiriy Victor Grigorevich

Авторы предлагают использовать для описания ряда остатков, полученных из исходных временных рядов после удаления детерминированных трендов, линейную комбинацию детерминированных систем с хаотическими решениями. Хотелось бы, чтобы авторы дали сравнительный анализ предлагаемого ими метода с "классическим методом", основанным на использовании стохастических динамических моделей (моделей авторегрессии - скользящего среднего). С уважением,Кирий В.Г.

Taratin Vjacheslav Victorovich

Интересная работа, хорошо аргументированная. Заслуживает высокой оценки. Желаю Вам дальнейших творческих успехов!

Fornea-Stecailov Iuliana

Уважаемые авторы! Спасибо за исследование и комплексное изучение данной проблематики! Всегда проблематика моделирования, а особенно относящейся к теории хаоса очень трудно измерить, особенно в динамике, а также идентифицировать сложные показатели и представить качественный алгоритм действий. Особенно важно, что Вы представили путь повышения качества прогноза за счет дополнительной аппроксимации ряда остатков комбинацией детерминированных систем с хаотическими решениями. Желаю дальнейших научных изысканий! С уважением, Юлиана.

Isaeva Lyudmila Evgenyevna

Авторы справедливо отмечают, что одной из способностей науки является адекватное описание сложных социальных процессов и возможность предсказывать их развитие. Это проиллюстрировано в работе на примере возможного экономического прогнозирования. Публикация этой работы целесообразна, несмотря на сложный математический анализ, приведенный для получения результата.
Comments: 15

Галиева Гульназ Физратовна

Характеризуя в целом необходимо отметить, что избранная автором логика исследования, последовательность позволяет глубоко и качественно раскрыть тему.

Asanova Natalia Aleksandrovna

Автор статьи, исходя из источника, проделал большую практическую работу, которая заслуживает высокой оценки. Работа информативна и научно перспективна. Успехов в дальнейшей научной работе!

Nabiyev Alpasha Alibek

Ваша работа выполнена на высоком научном уровне и также имеет практическое значение в области прикладной статистики и теории случайных функций

Zulfugarzade Teymur El'darovich

В представленной на рассмотрение работе исследована весьма актуальная проблема, представляющая неподдельный интерес для современной экономической науки. Работа заслуживает высокой оценки.

Shatalova Alevtina Yurievna

Статья содержательная. Но все же много общепринятых фактов. Тема показалась очень актуальной. И еще - литература есть, а в тексте ссылок на нее вроде нет.

Stepanova Vera Vladimirovna

Работа заслуживает похвалы в части разработки практической модели, но недостаточно проиллюстрирована возможность применения в прогнозировании конкретных экономических процессов. С ув. Степанова В.В.

Vykhodets Aleksander Mihaylovich

Настоящая научная статья, Ее немногие положения теоретически обоснованы и подкреплены расчетами.Работа вносит определенный вклад в моделирование производственных процессов. Следовало более полно остановиться на проблемах прогнозирования Думаю, в дальнейшем автор получит практический результат.

Asanova Natalia Aleksandrovna

Автор статьи, исходя из источника, проделал большую практическую работу, которая заслуживает высокой оценки. Работа информативна и научно перспективна. Успехов в дальнейшей научной работе!

Khachpanov Giya Viacheslavovich

Стоило бы добавить, что приведённый математический анализ не столь сложен в современных условиях так как расчёты легко обработать с помощью современных технологий. Также согласен с комментарием Владимира на счёт концовки.

Osinovskaya Irina Vladimirovna

Работа является достаточно актуальной, так как решение вопроса повышения точности результатов процесса прогнозирования на практике достаточно востребовано. Необходимо согласиться с комментарием коллеги, что не хватает авторских рекомендаций практического использования предлагаемого подхода, направленных на руководителей различных предприятий. Однако по нашему мнению данный подход основан только на ретроспективном анализе и не учитывает факторы внешней среды не нашедшие отражения в периоде наблюдения. При принятии практических управленческих решений данный аспект является достаточно значимым. Возможно данному вопросу автор уделит внимание в дальнейших исследованиях. Желаем творческих успехов! С уважением, Осиновская Ирина, Ленкова Ольга

Chernyak Vladimir ivanovich

Работа без сомнения актуальная, профессионально выполненная и имеющая перспективу развития. Не хватает "маленькой изюминки" - концовки: каков следующий шаг исследований, либо - какой вывод из полученного результата может сделать "практик", например руководитель телекоммуникационной компании. Творческих успехов, с уважением Черняк Владимир.

Kiriy Victor Grigorevich

Авторы предлагают использовать для описания ряда остатков, полученных из исходных временных рядов после удаления детерминированных трендов, линейную комбинацию детерминированных систем с хаотическими решениями. Хотелось бы, чтобы авторы дали сравнительный анализ предлагаемого ими метода с "классическим методом", основанным на использовании стохастических динамических моделей (моделей авторегрессии - скользящего среднего). С уважением,Кирий В.Г.

Taratin Vjacheslav Victorovich

Интересная работа, хорошо аргументированная. Заслуживает высокой оценки. Желаю Вам дальнейших творческих успехов!

Fornea-Stecailov Iuliana

Уважаемые авторы! Спасибо за исследование и комплексное изучение данной проблематики! Всегда проблематика моделирования, а особенно относящейся к теории хаоса очень трудно измерить, особенно в динамике, а также идентифицировать сложные показатели и представить качественный алгоритм действий. Особенно важно, что Вы представили путь повышения качества прогноза за счет дополнительной аппроксимации ряда остатков комбинацией детерминированных систем с хаотическими решениями. Желаю дальнейших научных изысканий! С уважением, Юлиана.

Isaeva Lyudmila Evgenyevna

Авторы справедливо отмечают, что одной из способностей науки является адекватное описание сложных социальных процессов и возможность предсказывать их развитие. Это проиллюстрировано в работе на примере возможного экономического прогнозирования. Публикация этой работы целесообразна, несмотря на сложный математический анализ, приведенный для получения результата.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.