facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Page translation
 

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ
Onufriev Vadim

Tomsk Polytechnic University, Russia

Valeriy Goncharov, professor, doctor of technical sciences, full professor

Национальный Исследовательский Томский Политехнический Университет

Conference participant

В статье предложен способ достижения робастности импульсных систем автоматического управления. За основу принят вещественный интерполяционный метод расчета динамических систем, ориентированный на численные методы и цифровые вычислительные средства. Установлены инструментальные переменные, обеспечивающие коррекцию свойства робастности  синтезируемой системы. Приведены краткие сведения о методе, механизм коррекции решения по перерегулированию и робастности системы и расчетный пример.

Ключевые слова: вещественный интерполяционный метод, синтез импульсных регуляторов систем автоматического управления, робастность.

In this paper a reaching of automatic pulse control systems’ robustness is shown. As the basis is given Real Interpolation Method of dynamic systems’ calculation, that is oriented to numerical methods and digital computing resources. The article also shows instrumental variables, supplying with designed system’s robustness’ correction. Short data about the Method, an algorithm of solution’s correction by the overshoot and the robustness of the system  and calculation example are given.

Keywords: Real Interpolation method, pulse regulators’ of automatic control systems design, robustness

 

Введение

Современные системы автоматического управления (САУ) имеют, как правило, цифровые регуляторы. При их синтезе используют два пути [1-3]. Первый основан на косвенном способе решения задачи, когда сначала синтезируют непрерывный регулятор, затем преобразуют его в  дискретный. Он снижает трудности задачи и потому пользуется вниманием в инженерной практике. Второй путь, называемый прямым, позволяет получать дискретные регуляторы непосредственно по исходным данным. Он несколько сложнее, но его можно рассматривать как перспективный с позиций развития. Для такого суждения имеются формальные основания. Во-первых, одноэтапные процедуры синтеза при прочих равных условиях могут приводить к меньшим погрешностям, включая вычислительные. Во-вторых,   математические модели дискретных регуляторов, их реализации на микропроцессорных средствах, а также численные методы синтеза составляют единую среду, содержащую потенциальную возможность как для сокращения объемов вычислений, так и для повышения точности расчетов. В работе рассматривается прямой синтез дискретных регуляторов, частично реализующий эти возможности.

Задача синтеза регулятора линеаризованной импульсной системы может быть сведена к составлению и решению уравнения  вида          

 

,

(1)

в которое входят передаточные функции          W3ж (z)   желаемой системы, ее приведенной непрерывной части Wпнп(z), регулятора  Wр(z), а также коэффициент обратной связи  koc. В уравнении известны функции W3ж (z)Wпнп(z). Коэффициент koc также может быть отнесен к известным исходным данным, так как его всегда можно найти из условий конкретной задачи [1-3]. В отношении передаточной функции регулятора Wр(z) положим, что известна его структура:

 

.

(2)

В этих условиях задача сводится к определению коэффициентов bm,bm-1,…b0,an,an-1,…,a1 функции (2).  Уравнение синтеза (1) в целях сокращения числа операций переводят в форму

 

,

(3)

которая описывает поведение системы в разомкнутом состоянии. Подчеркнем, что форма (3) полностью согласуется с методом обратных задач динамики [5].

Методы составления и поиска приближенных решений уравнений синтеза (1), (3) известны [1]–[3]. Трудности поиска связаны с тем, что аналитический путь решения затруднителен, а в общем случае, когда структурные параметры m,n ограничены, невозможен [4]. Поэтому в работе развивается численный подход к решению подобных задач, обозначенный в [6]. Он базируется на вещественном интерполяционном методе (ВИМ), который используется как инструмент в численных процедурах синтеза регуляторов. В предлагаемой работе развитие подхода обобщается на вопросы робастности регуляторов, синтезируемых численным методом. Для пояснения особенностей использованного в [6] метода ниже приведены краткие сведения о нем.

 Основы вещественного метода

Вещественный интерполяционный метод (ВИМ) позволяет получать модели динамических систем и оперировать ими в области изображений. В этом смысле он соответствует методу дискретного преобразования Лапласа и z-преобразованию, частным случаем которых его можно рассматривать. Принципиальное отличие связано с тем, что ВИМ приводит к математическим моделям в виде функций вещественной переменной. Последнее обстоятельство важно потому, что это дает возможность привлечь к описаниям динамических систем и действиям над ними хорошо разработанные методы функций вещественной переменной.

Техника получения вещественных изображений в своей основе определена аппаратом z-преобразования, из которого следует формула получения изображений, а также действия над такими функциями.  Вещественные функции-изображения находят по правилу

 

,

(4)

в котором параметр cv выбирается из условия сходимости ряда. Выделим две главные особенности формулы (4). Первая, о которой уже было сказано, - функция F(v),v [cv,] имеет вещественную переменную. Вторая особенность вытекает из исходного положения, при котором формула (4) является частным случаем z-преобразования. Эта особенность важна в практическом отношении: принятая форма (4) позволяет получать изображения F(z) по z-изображению путем формальной замены переменной z на v.  Это в свою очередь позволяет при решении практических задач использовать хорошо разработанные таблицы соответствия оригиналов и z-изображений.

Для привлечения численных методов действий над вещественными функциями F(v) предусмотрен переход к дискретной форме , называемой численной характеристикой функции F(v). Элементы F(vi),  определены как значения функции F(v) в узлах                 

 

.

(5)

Рекомендации по выбору узлов имеются [4].

В приложении к задачам синтеза регуляторов с помощью ВИМ общая схема действий включает в себя несколько этапов. На первом из них находят элементы численной характеристики  по функции времени f(kT0) или известному z-изображению F(v). В первом варианте, когда известна функция f(kT0),  это можно сделать по соотношению

 

,

(6)

следующему из (4). Во втором варианте задана не функция-оригинал f(kT0), а ее z-изображение F(z).  Тогда можно найти вещественное изображение F(v) формальным образом, выполняя подстановку z→v [4]  с последующим переходом к дискретной форме , задавая узлы (5).

На втором этапе вычисляются коэффициенты рациональной дроби

 

.

(7)

Для этого на основе выражения (7)  составляется дискретное соотношение

 

,

(8)

которое имеет смысл системы  линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В левой части СЛАУ (8) находятся значения F(vi), , которые найдены по формуле (6) либо по изображению  F(z)|z=v=F(v)F(vi). В правой части равенства содержатся коэффициенты дроби F(v), которые следует вычислить. Они найдутся как решение СЛАУ (8).

Синтез регуляторов и обеспечение робастности

Аппарат ВИМ позволяет осуществить синтез регуляторов на основе уравнений [1], [3], численных процедур их решения и итерационного приближения к искомому решению в соответствии с принятым критерием близости. Задачи в определенной степени были рассмотрены в работе [6]. Ниже обсуждаются возможности развития этого направления с целью удовлетворения еще одного требования – придания робастных свойств САУ.

В ВИМ узлы интерполирования  можно использовать как инструмент в процедуре приближения к приемлемому решению. В условиях равномерной сетки корректирующим параметром выступает последний узел .Вторыминструментом, который существенно влияет на свойства синтезируемой САУ, является время установления ty. Таким образом, величина перерегулирования  синтезированной системы определяется  параметрами  и ty. Вид графика, характеризующего это изменение, приведен на Рисунке 1.

Рисунок 1 – график зависимости 

Полученные графики содержат участок с относительно малой производной, т.е. такой, где изменения функции  сравнительно незначительны. Например, для верхнего графика, полученного для значения ty2, таким участком можно считать  . Смысл этого участка с позиций проектирования САУ состоит в малой чувствительности перерегулирования системы к изменениям параметра . Это очевидно, но главное, как показано в [6], вариации узла   при определенных условиях можно рассматривать как вариации параметров элементов САУ (коэффициентов передачи, постоянных времени,…). Такая взаимосвязь означает, что   отрезок  в определенной мере является характеристикой робастности САУ. Поэтому требуемый уровень робастности можно задать на этапе расчета САУ, обеспечив  достаточную величину отрезка .

Из рассмотрения графиков на Рисунке 1 можно сделать еще один вывод: изменение  второй управляющей переменной – времени установления переходного процесса желаемой системы ty – приводит к изменению положения кривой . При этом происходит существенное перемещение по оси абсцисс, а также некоторая деформация ее вида.  Отметим, что изменение вида кривой включает в себя изменение интересующего нас участка  . Эта зависимость дает возможность  управлять величиной участка путем изменения параметра ty. На основании отмеченных взаимосвязей можно составить следующий алгоритм синтеза регуляторов систем управления с контролем робастности.

Шаг 1. Синтез регулятора с назначением двух узлов  -  - по рекомендациям [6] с использованием равномерной сетки для остальных.

Шаг 2. Сравнение значения перерегулирования  на отрезке стабильности графика с требуемым значением .

Шаг 3. Если требуемое значение перерегулирования  больше (меньше) получившегося  на шаге 1, то повторяем шаг 1 с уменьшенным (увеличенным) значением времени ty установления желаемой системы. Если полученное значение совпадает с заданным с достаточной точностью, то обсуждаемая часть задачи считается решенной. Отметим, что здесь не рассматриваются количественные показатели робастности. Это отдельная тема, требующая самостоятельного обсуждения.

4. Расчетный пример

Для пояснения сказанного обратимся к конкретной задаче синтеза регулятора с обеспечением заданного перерегулирования САУ. Задана передаточная функция объекта управления . Требуется получить регулятор вида (2) при m=1, n=2, обеспечивающий перерегулирование  с допустимым отклонением . Исходное желаемое время установления ty определено по параметрам объекта управления и равно 4,49 с.  В качестве дополнительных условий примем:  закон распределения узлов равномерный закон, первый узел имеет единичное значение, начальной инструментальной переменной выступает последний узел . Поиск приемлемого решения будем осуществлять на основе получения и анализа зависимости  для различных значений желаемого времени установления tyПараметр ty имеет смысл роль второй инструментальной переменной.

По исходным данным (, 2<ty<3) найдена желаемая передаточная функция . Для узлов первой итерации v1=1,v2=1.01,v3=1.02,v4=1.03  получены численные характеристики желаемой системы {Wж(vi)}4={1,0.987,0.974,0.962} , объекта управления {Way(vi)}4={1,1.006,1.011,1.016}. Они позволяют найти модель регулятора: Теперь найдутся модели регулятора и системы: . Полученная переходная характеристика фиксирует перерегулирование . Это решение обозначено точкой А на Рисунке 2. Подобным же образом были получены другие точки зависимости  для значения ty1=2.04с. Видно, что график не содержит участка, отвечающего двум требованиям – по робастности и перерегулированию. Из анализа также следует, что для  достижения цели следует переместить кривую вниз. Этого можно достичь за счет увеличения желаемого времени установления. Примем:   ty1=2.07с. Прежняя процедура позволит получить все необходимые данные , начиная с желаемой передаточной функции Wж2(p) до графика . Последний представлен на Рисунке 2.

Полученные результаты удовлетворительны, окрестность точки В отвечает  условиям задачи. При необходимости можно продолжить изменения параметра tдля дальнейшей коррекции графика . В данном иллюстративном примере ограничимся двумя приведенными итерациями и полученными результатами.

Рисунок 2 – графики зависимостей 

Заключение

В работе рассмотрена возможность использования желаемого времени установления ty для придания синтезируемой САУ заданного перерегулирования и свойства  робастности. Показано, что два инструмента – узлы интерполирования и время установления – позволяют итерационным способом достичь цели.

Литература:

  • 1. KuoB. DigitalControlSystems. Holt, RinehartandWinston, INC. New York. 1980.
  • 2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. Издание третье. - М.: Наука, 1975. – 768 с.
  • 3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт. Т. 3: Синтез регуляторов систем автоматического управления/ Под. Ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616 с.
  • 4. Киселев О.Н. Минимизация перерегулирования в линейных дискретных системах регуляторами низкого порядка// Автоматика и телемеханика, №4, 2001. – С. 98 – 108.
  • 5. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. – М.: Наука, 1987. – 304 с.
  • 6. Гончаров В.И. Синтез электромеханических систем промышленных роботов. - Томск: ТПУ, 2002. – 100 с.
Comments: 3

Taratin Vjacheslav Victorovich

Работа интересная, актуальная и перспективная. Интересно, какой вклад в данной работе первого автора?

Onufriev Vadim

Благодарим за Ваш отзыв. Первый автор проводил все расчеты, снимал все характеристики, определял закономерности, выявленные в ходе работы. Кроме того. Метод достаточно мощный и эффективный, как Вы могли заметить. Однако, при применении его на практике возникают трудности, которые теория метода не всегда предусмотреть может. Первый автор, в ходе даже одной этой работы решил несколько значительных трудностей - это касается и выбора желаемых ПФ, и выбора узлов интерполирования, и выбора структуры регулятора и т.д.

Taratin Vjacheslav Victorovich

Cпасибо за подробный ответ. Желаю авторам творчеких успехов! С уважением, Вячеслав Таратин.
Comments: 3

Taratin Vjacheslav Victorovich

Работа интересная, актуальная и перспективная. Интересно, какой вклад в данной работе первого автора?

Onufriev Vadim

Благодарим за Ваш отзыв. Первый автор проводил все расчеты, снимал все характеристики, определял закономерности, выявленные в ходе работы. Кроме того. Метод достаточно мощный и эффективный, как Вы могли заметить. Однако, при применении его на практике возникают трудности, которые теория метода не всегда предусмотреть может. Первый автор, в ходе даже одной этой работы решил несколько значительных трудностей - это касается и выбора желаемых ПФ, и выбора узлов интерполирования, и выбора структуры регулятора и т.д.

Taratin Vjacheslav Victorovich

Cпасибо за подробный ответ. Желаю авторам творчеких успехов! С уважением, Вячеслав Таратин.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.