facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Page translation
 

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ  ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Telia Tamaz, ассоциированный профессор , candidate of technical sciences

Georgian University, Georgia

Conference participant

В статье дается методика определения собственных  значений элемента тела, находящегося трехосном напряженном состоянии. Нахождение собственных  значений сводится кубическому полиному, для решения которого используется метод последовательных приближений, встроенный в диалоговом окне “Подбор параметра”, программного пакета MS Excel. Найдена величина наибольшего главного напряжения, соответствующее наибольшему собственному  значению матрицы напряжений, при которой происходит разрушение элемента тела.

Ключевые слова: Excel, подбор параметра, метод последовательных приближений, тензор напряжений, собственные значения.

The paper deals with the determination of own value of the element of body, being in triaxial tight condition. Finding of own value is lead to cubic polynomials, for which answer the method of successive approximation, built in dialogue window “Goal Seek” of software MS Excel is used. Quantity of maximum tight, corresponding to maximal own value in which the boy is destroyed is found.

Key words: Excel, Goal Seek, method of successive approximation, tensor of tight, own value. 

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этого особого параметра называют характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные  значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные  значения определяют главные нормальные напряжения, при динамическом анализе механических систем – соответствуют собственным частотам колебаний, а при расчете конструкций – позволяют определить критические нагрузки, превышение которых приводить к потере устойчивости.

В общем случае объемного напряженного состояния по граням выделенного из материала элементарного кубика возникают и  нормальные и касательные напряжения (Рис. 1). По закону парности касательных   напряжений ?xy=?yx, ?xz=?zx, ?yz=?zy. Совокупность шести напряжений ?x, ?y, ?z и ?xy, ?xz, ?zy полностью описывает напряженное состояние в точке, и называют тензором напряжений [1].

Рис.1. Тензор напряжений              

Требуется определить собственные значения тензора напряжений, когда

  ?x=  10×106   H/м2,           ?xy  =  5×10H/м2,

  ?y  = 20×106  H/м2,           ?xz   =  6×106  H/м2,

  ?z  = 30×106  H/м2,           ?yz  =  4×106  H/м2.

Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определения из системы уравнений [1]

(A - XE)Y  = 0,                       (1)

где  Aматрица напряжений,  E– единичная матрица, Х- три скалярных значений, которых требуется найти, Y– собственные векторы, соответствующие каждому из собственных значений.

Уравнение (1) имеет ненулевое решение лишь в случае, если его определитель равно нулю

det (A - XE)Y  = 0.                  (2)

Поставив значение матриц A и E в определитель (2) и после нескольких простых преобразовании, получим кубический полином относительно Х, корни которого и будет собственными  значениями тензора напряжений

(X 3 - 60X 2 + 1023X - 4610) × 10 6H/m2 = 0.                     (3)

Для решения нелинейного уравнения (3) используется  программный пакет MS Excel 2007 и встроенный в ней метод последовательных приближений [2], который известен под названием метода Ньютона.Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. С этой целью необходимо построить график функции  или ее протабулировать [2]. Например, протабулируем полином (3) на отрезке Х € [5, 35] с шагом h=2. Результат табуляции  приведен на рис. 2, где в ячейку B2 введена формула: =A2^3-60*A2^2+1023*A2-4610. На рис. 2 видно, что полином  меняет знак на интервалах [7, 9], [19, 21] и [33, 35]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, поэтому все корни локализованы. В качестве начальных приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Возьмем, например, их средние точки: 8, 20 и 34 и введем их в диапазон ячеек C2:C4 (Рис. 2). В ячейку D2 введем формулу:  =C2^3-60*C2^2+1023*C2-4610.  Выделив эту ячейку, и с помощью маркера заполнения протащим  введенную  в нее формулу на диапазон D2:D4. Таким образом, в ячейках D2:D4 вычисляются значения полинома при значениях аргумента, введенного в ячейках C2:C4, соответственно.

Рис.2. Локализация корней полинома.

Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Параметры вычисления диалогового окна Параметры Excel,  открываемого командой Office - Параметры Excel - Формулы. Зададим относительную погрешность и предельное число итераций, равными 0,00001 и 1000, соответственно. Находим корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Данные - Работа с данными - Анализ “что-если” - Подбор параметра и заполним диалоговое окно Подбор параметра (Рис. 3) следующим образом. В поле Установить в ячейке введем $D$2. Отметим, что в этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения (3). Для нахождения корня уравнения с помощью средства подбора параметров надо записать уравнение так, чтобы его правая часть не содержала переменную. В поле Значение вводим 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле, Изменяя значение ячейки, введем $C$2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную). После нажатия кнопки OK средство подбора параметра находит приближенное значение корня, которое помещает в ячейку C2. В данном случае оно равно 7,141760.

Рис.3. Диалоговое окно «Подбор параметра»

Аналогично в ячейках C3  и  C4 находим два оставшихся корня. Они равны 19,141061 и  33,709178. Как выглядит диалоговое окно Результат подбор параметра после успешного завершения поиска решения, показано на Рис. 4.

Рис. 4. Диалоговое окно «Результат подборапараметра»

Умножив найденные корни на 106 Н/м2, получаем  собственные  значения тензора напряжений, соответствующие главным напряжениям. Найдена величина наибольшего главного   напряжения, равной  33,709178×106, при которой происходит разрушение элемента тела.

Литература:

1. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. Москва:  Мир, 1982.

2. Ларсен Рональд У. Инженерные расчеты в Excel. Москва: Вильямс, 2002.                      

Comments: 3

Amanzholova Saule

Как просто и доступно написано!!! Насколько я поняла эти методы можно применять почти во свех инженерных расчетах. Как на счет расчета надежности системы информационной безопасности предприятия? Спасибо автору!!!

Taratin Vjacheslav Victorovich

Статья на известную тему. Применение табличного пакета при решении указанной задачи ранее не встречалось в публикациях. Этим статья значима. Успехов автору!

Telia Tamaz Nikolayevich

Вячеслав Викторович, спасибо Вам за внимание к моей работе. Желаю Вам также больших успехов. С уважением, Тамаз Телия.
Comments: 3

Amanzholova Saule

Как просто и доступно написано!!! Насколько я поняла эти методы можно применять почти во свех инженерных расчетах. Как на счет расчета надежности системы информационной безопасности предприятия? Спасибо автору!!!

Taratin Vjacheslav Victorovich

Статья на известную тему. Применение табличного пакета при решении указанной задачи ранее не встречалось в публикациях. Этим статья значима. Успехов автору!

Telia Tamaz Nikolayevich

Вячеслав Викторович, спасибо Вам за внимание к моей работе. Желаю Вам также больших успехов. С уважением, Тамаз Телия.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.