facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Page translation
 

Теоремы типа Мореры в единичном круге

Теоремы типа Мореры в единичном круге
Silenko, Victoria, senior lecturer, candidate of mathematics and physics

Donetsk National University of Economics and Trade named after M. Tugan-Baranovsky, Ukraine

Championship participant: the National Research Analytics Championship - "Ukraine";

 

УДК № 517.5

Получены новые обобщения теоремы Морерыо голоморфности функции. Для группы “сдвигов” NA гиперболической плоскости Н2 определены точные условия на рост функций , для которых граница гиперболического прямоугольника или граница гиперболического четырехсторонника являются множествами Мореры. Также рассмотрены случаи двух гиперболических прямоугольников и двух гиперболических четырехсторонников. Найдены примеры функций с нулевыми интегралами по границам гиперболических прямоугольников и функций с нулевыми интегралами по границам гиперболических четырехсторонников, подтверждающие точность полученных условий. 

Ключевые слова: проблема Помпейю, множество Помпейю, гиперболическая плоскость, гиперболический прямоугольник, гиперболический четырехсторонник, теорема Мореры, голоморфность функции.

New generalizations of the Morera function holomorphy theorem have beenobtained. The precise conditions of growth of  under which the boundary of some hyperbolic rectangle, or the boundary of some hyperbolicfour-sided sethave the Morera property for the group NA of the translations of the hyperbolic plane Н2 have been determined. The cases of two hyperbolic rectangles and two hyperbolicfour-sided sets have also been established. 

Keywords: Pompeiu problem, Pompeiu set, hyperbolic plane, hyperbolic rectangle, hyperbolicfour-sided set, Morera type theorem, holomorphy function.

 

Классическая теорема Мореры характеризует голоморфные функции одной комплексной переменной в терминах интегральных условий. Рассмотрим проблему Мореры на вещественной гиперболической плоскости Н2, реализованной в единичном круге , где C – комплексная плоскость. Вмодели Пуанкаре гиперболической плоскости Н2 единичный круг D трактуется как плоскость Лобачевского с неевклидовым расстоянием  

Расстояние d и мера d? являются инвариантными относительно группы дробно-линейных автоморфизмов круга D. 

Группа G=SU(1,1) конформных автоморфизмов круга D состоит из комплексных матриц

 

и действует транзитивно на D посредством отображений . Разложение Ивасавы группы G имеет вид G=KAN, где K=SO(2) – группа вращений C,

,  (см., например, [1, c. 92] ). Подгруппа  NA, действующая транзитивнона D, состоит из матриц

Гиперболические прямые представляют собой дуги окружностей (и диаметры) в D, ортогональные единичной окружности dD, орициклы – евклидовы окружности в D, касающиеся dD. Эквидистанты – дуги евклидовых окружностей, пересекающих dD. Пусть  Будем называть гиперболическими прямоугольниками множества

Нетрудно видеть, что гиперболический прямоугольник Q? представляет собой часть круга D, размещенную между двумя орициклами с общей точкой z0=1, и двумя гиперболическими прямыми, входящими в эту точку. Гиперболический четырехсторонник Kограничен двумя орициклами с общей точкой z0=1, а также гиперболической прямой и эквидистантой, входящими в эту точку.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть  идля некоторой кусочно-гладкой замкнутой кривой 

Следует ли отсюда, что ƒ голоморфна в D? В общем случае ответ отрицательный (см., например, [2]), но при некоторых дополнительных предположениях голоморфность ƒ имеет место.

Для общих кривых наиболее известен следующий результат, полученный К.А. Беренстейном и М. Шахшахани в [3]. Пусть  ? область Липшица-Жордана, граница которой y=dP не является вещественно-аналитической кривой. Тогда если функция  удовлетворяет (1), то она голоморфна в D.

Из результата К.А. Беренстейна и M. Шахшахани таким образом следует, что для любого  граница гиперболического прямоугольника dQ? , как и граница гиперболического четырехсторонника dK?  обладают свойством Мореры.

Однако, если вместо всей группы движений G рассматривать только подгруппу “сдвигов” NA, ситуация меняется. Так, если  и для некоторого   , то отсюда в общем случае не следует, что ƒ голоморфна в D. В связи с этим возникают обобщения проблемы Мореры в двух направлениях: исследование нескольких множеств (например, двух гиперболических прямоугольников) и установление дополнительных ограничений на рассматриваемые функции.

Одним из таких ограничений является условие , полученное М.Л. Аграновским в [4, теорема 1].Это условие, являясь весьма общим, неточно для некоторых конкретных контуров. Например, в случае, когда ? ? окружность, неулучшаемые условия получены В.В. Волчковым в [2, теорема 1].

В следующих двух теоремах рассмотрены функции с нулевыми интегралами по границам гиперболических прямоугольников и четырехсторонников и найдены точные условия, обеспечивающие голоморфность таких функций.

С помощью сведения к проблеме Помпейю показано, что условие , накладывающее ограничения на поведение функции вблизи всей границы круга D, можно заменить ограничениями на рост функции лишь в окрестности z0=1.

По поводу других результатов, связанных с теоремой Мореры, см. [5] – [10] и обширную библиографию к этим работам.

 

Теорема 1.  1) Пусть ,

2) Для любых  существует неголоморфная функция , удовлетворяющая (3), (4) и такая, что

3) Для любых соизмеримых  существует неголоморфная функция , удовлетворяющая (2), (3) и такая, что  по орициклам.

 

Теорема 2.     1) Пусть ,

2) Для любых  существует неголоморфная функция , удовлетворяющая (6), (7) и такая, что

3) Для любых соизмеримых  существует неголоморфная функция , удовлетворяющая (5), (6) и такая, что

 по гиперболическим прямым.

Заметим, что достаточным условием выполнения (2) является

 по гиперболическим прямым (8)


Соответственно (5) имеет место, еслипо орициклам.

Если же выполнено (8), то из условия

  по эквидистантам,

следует (7).

 

Литература.

  1. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 736 с.
  2. Волчков В.В. Об одной проблеме Зальцмана и ее обобщениях // Матем. заметки. – 1993. – 53, вып.2. – С.30– 36.
  3. Berenstein C.A. Harmonic analysis and the Pompeiu problem / C.A. Berenstein,  M. Shahshahani // Amer. J. Math. ? 1983. ? Vol. 105. ? P. 1217 ? 1229.
  4. Аграновский М.Л. Преобразование Фурье на  и теоремы типа Морера // ДАН СССР. – 1978. – 243, № 6. – С.1353– 1356.
  5. Айзенберг Л.А. Вариации на тему теоремы Морера и проблемы Помпейю // Доклады АН России. – 1994. – 337, № 6. – С.709– 712.
  6. Волчков В.В. Преобразование Помпейю. – Донецк: ДонГУ, 1999. – 210 с.
  7. Berenstein C.A. Variations on the theorem of Morera/C.A. Berenstein, D.C. Chang, D. Pascuas, L. Zalcman  // Contemp. Math. – 1992. – 137. – P.63– 78.
  8. Volchkov V.V. Moreratype theorems on the unit disk // Anal. Math. – 1997. – 20. – P.49– 63.
  9. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Boston-London-Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. – 454 p.
  10. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1972. – 47. – P.237– 254.
0
Your rating: None Average: 5.3 (3 votes)
Comments: 4

Kasumova Rena Jumshud

Спасибо оргкомитету, что дали мне шанс завершить рецензирование работ. Ставлю 5 звезд за научность работы. Это не моя область. Но посмотрела ссылочный материал - это актуально. Удачи автору. И всех с Новым Годом! Касумова Р.Дж.

Silenko, Victoria

Спасибо за проявленный интерес к работе. Позволю себе добавить несколько фактов из комплексного анализа для специалистов в других областях. Есть несколько путей для определения аналитичности (голоморфности, дифференцируемости в комплексном смысле) функции f(z) в некоторой области (пусть она будет односвязной для простоты). Во первых, условия Коши-Римана для функции f=u+iv. Этими условиями должны быть связаны между собой частные производные двух дифференцируемых в вещественном смысле действительных функций u, v двух переменных x, y (z=x+iy). Во вторых, исследование ряда Лорана функции. В третьих, использование теоремы Мореры. Она является обратной к одной из центральных теорем комплексного анализа - классической теореме Коши. Интеграл от аналитической функции по любой замкнутой спрямляемой кривой равен нулю (по теореме Коши). Таким образом, теорема Мореры позволяет судить об аналитичности функции, имеющей нулевые интегралы. Однако оказывается, что число кривых, по которым ведется интегрирование можно значительно уменьшить. Так на комплексной плоскости достаточно рассмотреть интегралы по границам всех единичных квадратов непрерывной функции, чтобы заключить ее голоморфность. Однако если вместо единичного квадрата взять единичную окружность, то интегральных условий недостаточно для аналитичности. Так же недостаточно интегралов, взятых по всем сдвигам одного фиксированного квадрата. В этом случае мы вместо всей группы движений (сдвигов и вращений) рассматриваем только сдвиги. Недостаточность интегральных условий можно компенсировать дополнительными условиями на рост функции. Или же рассмотреть вместо одной окружности - две (с радиусами, выбранными подходящим образом), или вместо одного - три квадрата с несоизмеримыми длинами сторон (и все их сдвиги). В работе рассматривается гиперболическая плоскость (плоскость Лобачевского). Две различные группы сдвигов приводят к двум аналогам квадрата: гиперболическому прямоугольнику и гиперболическому четырехстороннику. В работе получены точные (неулучшаемые) условия на рост функции, компенсирующие недостаточность интегральных условий для группы сдвигов. Условия на рост записаны с помощью символов «о большое» и «о малое», применяемыми для сравнения функций. O(f) есть ограниченная по сравнению с f, o(f) - бесконечно малая по сравнению с f. С уважением, Силенко В.Е.

Ushcats Michael

Как хорошо, что есть точные науки. Статья довольно специализированная, и хотелось бы немного более доступного изложения для неспециалистов. Я сам в данное время разбираюсь с аналитичностью одной очень вредной функции и, может быть, подчерпну что-то для себя. Спасибо. С уважением, М.В.Ушкац

Ivanova Tatiana Alecsandrovna

Гиберболический четырехугольник,отличается от эллипсоидовидного гипрболлоида .Лимитные пределы интегралов мне лично не совсем понятны .Так например почему интеграл функции дифференцированной равен нулю,но это не означает что f не голоморфна.Вообща то есть просто математические правила интеграл нуля.И тогда логически делаем выводы .Теоремы Морера и Помпейю все таки должны операться на математическую логику.Поэтому необходимо более подробно описывать логические цепи. Замечание в плане изложения материала.Должен быть уровень математической статьи.С подробными пояснениями и ссылками.То есть в редакционном плане статья должна быть доработана,в области объяснений материала специалистом высокого класса,которым без сомнения Вы яляетесь.Думаю высокопрофессиональным специалистам не составит труда написать статью простым,ясным языком . Само изложение материала крайне невнятно.Оценить не могу по этому поводу.
Comments: 4

Kasumova Rena Jumshud

Спасибо оргкомитету, что дали мне шанс завершить рецензирование работ. Ставлю 5 звезд за научность работы. Это не моя область. Но посмотрела ссылочный материал - это актуально. Удачи автору. И всех с Новым Годом! Касумова Р.Дж.

Silenko, Victoria

Спасибо за проявленный интерес к работе. Позволю себе добавить несколько фактов из комплексного анализа для специалистов в других областях. Есть несколько путей для определения аналитичности (голоморфности, дифференцируемости в комплексном смысле) функции f(z) в некоторой области (пусть она будет односвязной для простоты). Во первых, условия Коши-Римана для функции f=u+iv. Этими условиями должны быть связаны между собой частные производные двух дифференцируемых в вещественном смысле действительных функций u, v двух переменных x, y (z=x+iy). Во вторых, исследование ряда Лорана функции. В третьих, использование теоремы Мореры. Она является обратной к одной из центральных теорем комплексного анализа - классической теореме Коши. Интеграл от аналитической функции по любой замкнутой спрямляемой кривой равен нулю (по теореме Коши). Таким образом, теорема Мореры позволяет судить об аналитичности функции, имеющей нулевые интегралы. Однако оказывается, что число кривых, по которым ведется интегрирование можно значительно уменьшить. Так на комплексной плоскости достаточно рассмотреть интегралы по границам всех единичных квадратов непрерывной функции, чтобы заключить ее голоморфность. Однако если вместо единичного квадрата взять единичную окружность, то интегральных условий недостаточно для аналитичности. Так же недостаточно интегралов, взятых по всем сдвигам одного фиксированного квадрата. В этом случае мы вместо всей группы движений (сдвигов и вращений) рассматриваем только сдвиги. Недостаточность интегральных условий можно компенсировать дополнительными условиями на рост функции. Или же рассмотреть вместо одной окружности - две (с радиусами, выбранными подходящим образом), или вместо одного - три квадрата с несоизмеримыми длинами сторон (и все их сдвиги). В работе рассматривается гиперболическая плоскость (плоскость Лобачевского). Две различные группы сдвигов приводят к двум аналогам квадрата: гиперболическому прямоугольнику и гиперболическому четырехстороннику. В работе получены точные (неулучшаемые) условия на рост функции, компенсирующие недостаточность интегральных условий для группы сдвигов. Условия на рост записаны с помощью символов «о большое» и «о малое», применяемыми для сравнения функций. O(f) есть ограниченная по сравнению с f, o(f) - бесконечно малая по сравнению с f. С уважением, Силенко В.Е.

Ushcats Michael

Как хорошо, что есть точные науки. Статья довольно специализированная, и хотелось бы немного более доступного изложения для неспециалистов. Я сам в данное время разбираюсь с аналитичностью одной очень вредной функции и, может быть, подчерпну что-то для себя. Спасибо. С уважением, М.В.Ушкац

Ivanova Tatiana Alecsandrovna

Гиберболический четырехугольник,отличается от эллипсоидовидного гипрболлоида .Лимитные пределы интегралов мне лично не совсем понятны .Так например почему интеграл функции дифференцированной равен нулю,но это не означает что f не голоморфна.Вообща то есть просто математические правила интеграл нуля.И тогда логически делаем выводы .Теоремы Морера и Помпейю все таки должны операться на математическую логику.Поэтому необходимо более подробно описывать логические цепи. Замечание в плане изложения материала.Должен быть уровень математической статьи.С подробными пояснениями и ссылками.То есть в редакционном плане статья должна быть доработана,в области объяснений материала специалистом высокого класса,которым без сомнения Вы яляетесь.Думаю высокопрофессиональным специалистам не составит труда написать статью простым,ясным языком . Само изложение материала крайне невнятно.Оценить не могу по этому поводу.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.