facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Wiki
Page translation
 

Развитие интеллектуальных операций средствами математического и компьютерного моделирования

Развитие интеллектуальных операций средствами математического и компьютерного моделирования
Smirnov Eugeny, head of a chair, doctor, ph.d. of education, ph.d. of mathematics and physics, full professor

Yaroslavl State Pedagogical University named after K.D. Ushinsky, Russia

Vera Abaturova, senior research associate, candidate of education

Южный математический институт ВНЦ РАН

Vladimir Ostashkov, ph.d. of mathematics and physics, associate professor

Ярославское высшее военное училище противовоздушной обороны, Россия

Conference participant

Аннотация. В статье разработаны методологические основания и методика развития интеллектуальных операций школьников в процессе освоения сложного математического знания в контексте диалога культур. Выявление и исследование «проблемных зон» математического образования, решение которых ассоциировано с современными достижениями в науке, способствует самоорганизации и саморазвитию личности, повышению учебной и профессиональной мотивации. Рассматриваются примеры самоорганизации из области фрактальной геометрии. 

Ключевые слова: интеллектуальные операции, математическое образование, наглядное моделирование, сложное знание.

 

Введение. Перспективы личностного развития школьников в России претерпевают значительные, в том числе,  позитивные изменения:  больше возможностей для определения и реализации своих способностей, самовыражения и самоактуализации в учебной  деятельности,  наличие реальных позиций для общения и выбора в жизненных ситуациях, огромные возможности приобщения к информационной среде и достижениям современной науки. Молодые люди стали более нетерпимыми к проявлениям догматизма, отсутствию гибкости в обучающих воздействиях, стали прагматичными и осознанно оценивающими личностные предпочтения и перспективы своей будущей жизни. В то же время, интеллектуальные операции мышления ( аналогия, ассоциации, моделирование, понимание, конкретизация, абстрагирование, обобщение и т.п.), лежащие в основе универсальных учебных действий обучаемых, по разным объективным и субъективным причинам перестали эффективно  развиваться в школьном образовании. Как ни странно в этом процессе печально теряется роль математического образования как одного из наиболее эффективных инструментов личностного развития и освоения социального опыта предшествующих поколений, в том числе  на фоне грандиозных приложений математики. Этому тезису приведем в обоснование следующие свидетельства , например, после впечатляющих достижений юных математиков в 90-е и нулевые годы результаты  2015 года Международной математической олимпиады школьников: ни одной золотой медали у России и 8 место по набранным баллам ( США – 185, Китай – 181, Южная Корея – 161, КНДР – 156, Вьетнам – 151, Австралия – 148, Иран – 145, Россия – 141, Канада – 140, Сингапур – 139); в 2016 году в Гонконге команда России заняла 7 место (  впереди команды США, Южной Кореи, Китая, Сингапура, Тайваня и др.); в 2017 году в Рио-де-Жанейро наши математики заняли командное 11 место, завоевав 1 золотую медаль, 3 серебряных медали и 2 бронзовых, причем в личном зачете наш участник Михаил Иванов из С-Петербурга занял 14 место. Впереди были команды Южной Кореи, Китая,  Вьетнама, США, Ирана, Японии, Сингапура и др. Немаловажным показателем качества математического образования является уменьшение порогового значения балла по математике  для получения аттестата о среднем образовании, который падал  до 20 баллов в 2014 году, 27 баллов в 2015 - 2017 годах. К сожалению, данные тенденции проявляются на фоне лавинообразной востребованности современных математических достижений в реальной жизни, естественных и гуманитарных науках, разработке высоких технологий и современных производств. Достаточно упомянуть достижения фрактальной геометрии ( Б.Мандельброт, М.Фейгенбаум, М.Барнслоу, Е.Федер, В.С.Секованов и др.) , теории хаоса и катастроф ( Г.Хакен, Э.Лоренц, А.Н.Колмогоров, В.И.Арнольд, Г.Г.Малинецкий, Р.Том, О.Ресслер и др.), теория нечетких множеств и fuzzy-logic(Т.Заде, А.Кофман, Р.Рональд и др.), теории кодирования и шифрования ( К.Шеннон, Д.Хаффман,  Л.С.Хилл и др. ), теории обобщенных функций ( Л.Шварц, Л.В.Соболев, И.М.Гельфанд, А.Мартино, В.П.Паламодов и др.) и др.   А ведь именно всовременных условиях интенсивного применения математических методов в естествознании, гуманитарных  науках, технике и смежных науках, да еще  в соединении с информационными технологиями, данные исследования должны были бы непременно находить свое отражение в изменяющихся программах школьного и вузовского математического образования. Однако проявления данной тенденции не наблюдаются ни в российской , ни в большинстве зарубежных системах математического образования.  Прежде всего, возрастает потребность в актуализации обобщенных конструкций и отношений в предметном содержании школьного и профессионального образования, связанных, прежде всего с решением и исследованием сложных задач средствами математического и компьютерного моделирования. Как отмечал С.Л. Рубинштейн, “...генерализация отношений предметного содержания выступает затем и осознается как генерализация операций, производимых над обобщенным предметным содержанием; генерализация и закрепление в индивиде этих генерализованных операций ведут к формированию у индивида соответствующих способностей” [1]. Примером этому могут служить известные психологические исследования математического образования, проведенные Л.В. Занковым, Н.Ф. Талызиной, В.А. Крутецким, И.С. Якиманской, В.Д. Шадриковым и другими крупными отечественными психологами. В такой парадигме важнейшая роль в повышении качества обучения математике в средней школе принадлежит педагогу. Например, в идеале будущий учитель должен овладеть обобщенным предметным содержанием и способами деятельности в вузе с тем, чтобы, придя в школу, осваивать школьный предмет вместе с учениками на уровне фундированной сущности, отрицая, тем самым, так называемое известное “двойное забвение” по Ф. Клейну. Однако анализ основных образовательных программ, разрабатываемых вузом в соответствии с ФГОС третьего поколения, показывает, что качественная модернизация содержания высшего педагогического образования идет очень медленно. При этом имеет место тенденция к сохранению репродуктивности традиционного подхода к отбору предметного содержания, а также явный дефицит методологических идей, способных адекватно отразить задачи современного периода.

Наша концепция предполагает, что обучение математике должно происходить в информационно-насыщенной образовательной среде, в условиях диалога математической, информационной гуманитарной и естественнонаучной культур , развития математических способностей и творческой самостоятельности  школьников, конструированием специальных процедур освоения обобщенных сущностей математических объектов, явлений и процедур в ходе исследования «проблемных зон» математического образования. Поэтому  выстраивание этапов и иерархий в процессе уровневого выявления сущностей математических понятий и процедур средствами наглядного моделирования  учебных элементов «проблемных зон» является важнейшим механизмом преодоление формализма в освоении содержания математики и представляет серьезную и далеко не решенную проблему в дидактике математики.

Таким образом, инновационная технология обучения математике, основанная на постижении сущности математических объектов и процедур как обобщенных конструктов на основе наглядного моделирования сложного знания и отражения нелинейной динамики реальной жизни и развития современных наук и производств,  может представлять собой проектирование реального учебного процесса, соединяющее в себе теоретический или объектно-сущностный ( приобретение опыта), процессуально-деятельностный (применение и преобразование опыта), личностно-адаптационный (развитие личностных характеристик, интеллекта) компоненты на основе развертывания фундирующих модусов развития личности .

Методология, теории и технологии.  Реализация объявленной концепции связана с освоением обучающимися сложного знания средствами математического и компьютерного моделирования в насыщенной информационно-образовательной среде. Прежде всего, такое освоение необходимо проектировать на основе уровневой педагогической и психологической дифференциации, имея в виду тенденцию к индивидуализации обучения, создавая при этом условия для познавательной и творческой самостоятельности обучающихся. С другой стороны эффективным инструментом освоения сложного знания может являться исследование и адаптация к школьной или вузовской математике современных достижений в науке, ярко и значимо представленных в приложениях к реальной жизни, развитии  других наук, высоким технологиям и производствам.  Нами далее исследуются направления педагогической поддержки освоения сложного знания обучающимися в «проблемных зонах» математического образования с эффектом развития интеллектуальных операций мышления.

1. Базовым понятием представленной концепции является понятие фундирования как философской категории, педагогической технологии и психологического механизма развития личности.  В педагогику впервые понятие фундирования было введено В.Д. Шадриковым и Е.И. Смирновым в 2002 году [2] как процесс создания условий для поэтапного углубления и расширения школьных знаний в направлении профессионализации и формирования целостной системы научных и методических знаний. Принципиальным отличием структурообразующего принципа фундирования является определение основы для спиралевидной схемы моделирования базовых знаний, умений, навыков предметной (в том числе, математической) подготовки студентов педвузов.  Проблема исследования «проблемных зон» обучения математике, однако, связана с тем, что искомая обобщенная сущность учебных элементов сложна и с трудом осваивается многими обучающимися. Например, теоретическим обобщением для спирали фундирования понятия производной является производная Фреше как линейный оператор в банаховом пространстве. Для студента – это комплекс абстрактных понятий (частная производная, производная Гато, производная по направлению, матрица Якоби, производная вектор -функции, вариация функционала и т.п.),  в реалии как бы не связанных друг с другом, конкретизация которых и их понимание представляют отдельные нетривиальные процедуры. Понятно, что подобные ситуации не способствуют повышению качества освоения математики и требуют введения специальных процедур и способов когнитивной деятельности студентов для возможности актуализации параметров порядка в этом «хаосе» математических понятий. Именно вскрытие сущности сложного знания  средствами наглядного моделирования таких «проблемных зон» в математическом образовании возможно проектированием диалога математических, информационных, естественнонаучных и гуманитарных знаний с эффектом развития интеллектуальных операций мышления.

2.      Именно таким механизмом выступает наглядное моделирование [3] как инновационный конструкт, направленный навыявление сущности математических понятий, процедур и ситуаций на основе моделирования в обучении математике, необходимо ведущее к пониманию. Основной элемент – это центрирование ученика, оптимальное включение его перцептивных, когнитивных, рефлексивных, эмоционально-волевых, мотивационных и креативных подструктур в освоение математического знания. Главное при этом – адекватность априорной модели и результатов мыслительной деятельности обучающихся, осознанные и ведущие к пониманию. Наглядное моделирование – это интерактивная триада: личность – модель – понимание.Необходимые атрибуты наглядного моделирования: взаимопереходы знаковых систем: вербальной, знаково-символической, образно-графической и конкретно - деятельностной; устойчивость восприятия математических знаний; адекватность априорной и результативной моделей; отбор и актуализация базовых учебных элементов; сензитивность модальностей восприятия; активность когнитивных процессов. Необходимо знание особенностей психического развития каждого ученика, видов и иерархии моделей, средств оптимизации логических структур, закономерностей восприятия и оперирования знаковых систем, средств диагностики состояния личности и интеллектуальных операций, контролирующих и оценивающих процедур, самосовершенствование и переподготовка педагога.  Поэтому актуальной является проблема такой организации процесса обучения математике, когда представления , возникающие в мышлении обучаемых , отражают основные, существенные, ключевые стороны предметов, явлений и процессов, в том числе посредством адекватного моделирования математического знания. Именно выявление и формирование в когнитивном процессе этих узловых, опорных качеств объекта или процесса восприятия ( перцептивная модель), адекватно отражающих сущность объекта или процесса, и представляет собой суть процесса наглядного моделирования. Такой подход aprioriпредполагает моделирование объекта восприятия с опорой на нейрофизиологические механизмы памяти, закономерности восприятия, ментальные возможности, метакогнитивный опыт и аффективные состояния личности. При этом особую значимость приобретают модели, фиксирующие процедуру математических действий в процессе исследовательской активности.

3.      Фундирование опыта личности может целостно и целенаправленно реализовываться на основе развертывания  не только знаний, умений, навыков и способов деятельности ( в том, числе и компетентностей) в процессе обучения математике, но и актуализировать отдельные психические функции и интеллектуальные операции. Развитие последних очень важны  ( например, в контексте развития способностей) и следуя В.Д. Шадрикову [4] под «интеллектуальной операцией будем понимать осознанные психические действия , связанные с познанием и разрешением задач, стоящих перед индивидом». Интеллектуальные операции ( как когнитивные, так и метакогнитивные) определяют содержание универсальных учебных действий таких как: понимание, моделирование, целеполагание, планирование, анализ, синтез, аналогии и др. Формирование интеллектуальных операций (также как и универсальных учебных действий) представляет собой далеко не решенную дидактическую проблему. Немаловажным аспектом является и то, что Федеральные образовательные стандарты общего образования  второго поколения ориентированы, в частности, на формирование универсальных учебных действий как ключевых в раскрытии «умения учиться». Следуя Н.Г.Салминой [5] дадим определение моделирования как процесса целенаправленного оперирования со знаково-символическими средствами в построении и использования модели, в котором представлены структурные, функциональные, генетические связи объекта на уровне сущности.  В работах , проводимых под руководством Л.А. Венгера , сформированы требования к обучению моделированию: целесообразно начинать с моделирования единичных конкретных ситуаций, а позднее – с построения моделей, имеющих обобщённый смысл; следует начинать с  иконических, сохраняющих известное внешнее сходство с моделируемыми объектами, приходя к моделям, представляющим собой условно–символические изображения отношений (типа кругов Эйлера, графиков и др.); обучение моделированию осуществляется легче,  если начинается с применения готовых моделей , а затем – их построения;  начинать следует с формирования моделирования пространственных отношений, т.к. в этом случае форма модели совпадает с типом отражённого в ней содержания; затем переходить к моделированию временных отношений, а ещё позднее – моделированию всех других типов отношений (механических,  социальных, математических), заканчивая логическими. Основываясь на принципе психофизического единства (И.М.Сеченов, П.К.Анохин, С.Л.Рубинштейн, В.Д.Шадриков и др.): «положения о единстве строения и функции, строения аппарата восприятия и функции интеллектуальной операции» [6] выделим уровни развития моделирования как интеллектуальной операции.  Это прежде всего уровень целеполагания (цель-образ, цель-задание, цель-уровень достижений), уровень практических действий с реальным объектом (различение, группировка, сериация, выделение в предмете отдельных частей, свойств, признаков и т.п.),  уровень интеллектуальных действий ( анализ, синтез, сравнение, классификация, ассоциации, выделение опорных пунктов, доказательность и т.п.), уровень обобщения интеллектуальных действий по построению модели ( категоризация, кодирование, символизация, суждение, абстрагирование, формирование гипотезы, систематизация и т.п.), уровень установления адекватности модели с реальным объектом ( верификация устойчивости и опорности базовых связей, саморефлексия, интерпретация, понимание, вариативность, принятие решения и т.п.),   уровень переноса в новую реальность ( интерпретация, аналогия, сравнение, контроль, анализ, синтез, перекодирование и т.п.). Ниже предлагается спираль фундирования [7] поэтапного процесса формирования ( универсального учебного действия) интеллектуальной операции (моделирования, понимания, аналогии и т.п.) ( рис.2).

 

 

Рис.1. Спираль фундирования поэтапного процесса формирования ( универсального учебного действия) интеллектуальной операции

 

Развитость интеллектуальной операции  моделирования у обучающегося совсем не гарантирует успешность освоения математических объектов и процедур. Как показали ученые Харьковской школы психологии: А.Н. Леонтьев, А.В. Запорожец, П.Я. Гальперин и др., в основе развития обобщений лежит непосредственно практическая деятельность индивида. Поэтому, в нашей концепции фундирования  уровень потенциального развития функций ( расширения опыта) задается совместной деятельностью педагога и ученика по освоению в предметной деятельности идеальной моделью факта, явления или процесса – спирали или кластера фундирования, задаваемых ``априори'' и определяющих ``расстояние'', ``расхождение'', ``как далеко простирается такая возможность'' по Л.С. Выготскому между актуальным и потенциальным уровнями развития функций (расширения опыта). Тип моделирования идеального объекта (потенциальное развитие) на основе выявленной сущности может быть феноменологическим и генетическим. Следуя теории В.В. Давыдова и Д.Б. Эльконина , можно отметить, что феноменологический тип соответствует атрибутам и свойствам формирования эмпирического мышления, когда происходит обозначение чувственно данных свойств объектов и их связей, абстрагирование этих свойств, объединение их в классы и обобщение на основе формального тождества их отдельных свойств и их внешних изменений во взаимодействии.  Генетический тип моделирования, соответствует атрибутам и свойствам формирования теоретического мышления, когда осуществляется установление неявных скрытых существенных связей объектов, процессов и явлений роли и функций отношения компонентов внутри системы, условия их происхождения и преобразования. После анализа выявления сущности и самого идеального объекта происходит восхождение к истинному чувственно-конкретному целому. Как отмечали П.Я.Гальперин и Н.Г.Салмина [8] операциональное развитие не всегда влечет за собой символическое «… работа обучаемых с использованием формально-логического аппарата не ведет к повышению уровня обобщения, главное – важна адекватность деятельности формируемым знаниям. Обобщенность, гибкость оперирования знаниями зависит не только от уровня операционального развития, но и от предметно-специфических знаний, которые определяются структурой и способами формирования знаний…» т.е. переход на обобщенность и понимание сущности когнитивных действий требует специальной организации математического моделирования, базирующейся на адекватности , активности личностных предпочтений и наличии эффекта понимания как результата когнитивной деятельности.            

Пример.   Множественная гомотетия. Обобщенный конструкт – аттрактор предельного процесса. Этапы развития интеллектуальной операции « обобщение» развертываются по мере усложнения содержания.

                                                

В качестве стартовой точки М0 можно взять какую угодно точку плоскости. Более того, поскольку гомотетии в 2 раза уменьшают линейные размеры фигур, то вместо стартовой точки можно взять любую ограниченную фигуру. После достаточно большого числа итераций фигура станет настолько мелкой на дисплее, что ее практически невозможно  отличить от точки. Составим программу на языке VisualBasic, положив, для определенности, М0 = (1; 1).  Алгоритм:

       1               fori= 1 to12

       2                          t= RND  ’случайное дробное число от 0 до 1

       20                        If t < 1 / 3 Then Go To 100

       30                        If 1 / 3 <= t < 2 / 3 Then Go To 200

       40                        If t > 2 / 3 Then Go To 300

       100                      x = xM / 3:  y = yM / 3 :         Go To 500

       200                      x = (xM + 2) / 3: y = yM / 3: Go To 500

       300                      x = xM/3: y = (yM + 2) / 3:

       500                      Print (x, y)

       600                      xM = x: yM = y:

       700           Next

       800           End    

      

Данная программа реализует так называемую систему итерированных функций (СИФ), под которой понимается следующая итерационная схема.

 


            Рис. 2 демонстрирует хаотический характер динамики точки, но этот хаос детерминированный, т.е. предопределенный. При числе итераций порядка 100 000 точка нарисует аттракторF(рис. 3) вформе  треугольника Серпинского [9].  

 

 

      


На рис. 8 представлены первые 4 итерации построения канторова множества F, которое, очевидно, состоит из точек, записанных в пятеричном представлении бесконечными дробями с использованием только четных цифр. 

 

 

 

 

   

    

   

Генератор G, представленный на рис. 10, является для искомого фрактала Х предфракталом первого поколения. На втором шаге СИФ дает предфрактал 2-го поколения (рис. 11), на пятом шаге — предфрактал 5-го поколения (рис. 14). Фрактал Х является треугольником Серпинского .

Задача 6. Квадрат Gсо стороной 3 разрезан на 9 единичных квадратов. Построить все возможные генераторы, получающиеся из Gудалением n, n= 1..3, единичных квадратов.

 

 

Заключение. Технологические этапы освоения сложного знания на основе реализации концепций фундирования опыта личности и наглядного моделирования объектов, процессов и явлений предполагают проявление выраженности интеллектуальных операций мышления как пороговых переходов когнитивной деятельности  средствами математического и компьютерного моделирования. Опора на выявление «проблемных зон» в математическом образовании и адаптация обобщенных конструктов сущностей «проблемных зон»  в школьной математике является ключевой идеей повышения качества математического образования и развития интеллектуальных операций обучающихся.

 

Литература:

  1. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М.: АН СССР, 1958

  2. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы  // Под ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. 383 с

  3. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Монография.:  Изд-во ЯГПУ, Ярославль, 1997.-323 с

  4. Шадриков В.Д. От индивида к индивидуальности. Монография.: М.:  Изд-во «Институт психологии РАН», 2009. 656 с.

  5. Салмина Н.С. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во МГУ, 1988. 288с.

  6. АнохинП.К. Проблемы высшей нервной деятельности. — М., 1949

  7. Смирнов Е.И. Фундирование опыта в профессиональной подготовке и инновационной деятельности  педагога. Монография.: Ярославль, Изд-во «Канцлер», 2012.-654 с

  8. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

  9. Смирнов Е.И., Осташков В.Н. Синергия образования в исследовании аттракторов и бассейнов притяжения нелинейных отображений // Ярославский педагогический вестник. Серия психолого-педагогических  наук. Изд-во ЯГПУ  , Ярославль, 2016,  №6, С.146-157

  10. Смирнов Е.И., Богун В.В., Уваров А.Д. Синергия математического образования педагога: введение в анализ. Монография. Канцлер, 2016.-308 с.

Comments: 2

Atamanchuk Petro

Очень поучительный и прогностический материал!

Korolev Alexsander

Уважаемые коллеги! Согласен с вами, лично наблюдаю падение уровня с 2000 года (это было и ранее). В 2006-2007гг. обратил внимание на резкое снижение уровня выполненных заданий по курсу "Компьютерное моделирование", который я веду. Затем вспомнил, что эти студенты в 2002 году первыми сдавали ЕГЭ. Однако, ситуация с качеством образования еще сложнее. Самые высокие результаты по курсу "Компьютерное моделирование" показывали студентки специальности английский язык-информатика. Студенты специальностей математика-информатика, физика-информатика проигрывали им по всем статьям. Программы и нагрузка одинаковы. Видимо у этих студенток сформирована привычка учиться от слова "учить". С уважением, Королев А.Л., доцент ЮУрГППУ, Челябинск.
Comments: 2

Atamanchuk Petro

Очень поучительный и прогностический материал!

Korolev Alexsander

Уважаемые коллеги! Согласен с вами, лично наблюдаю падение уровня с 2000 года (это было и ранее). В 2006-2007гг. обратил внимание на резкое снижение уровня выполненных заданий по курсу "Компьютерное моделирование", который я веду. Затем вспомнил, что эти студенты в 2002 году первыми сдавали ЕГЭ. Однако, ситуация с качеством образования еще сложнее. Самые высокие результаты по курсу "Компьютерное моделирование" показывали студентки специальности английский язык-информатика. Студенты специальностей математика-информатика, физика-информатика проигрывали им по всем статьям. Программы и нагрузка одинаковы. Видимо у этих студенток сформирована привычка учиться от слова "учить". С уважением, Королев А.Л., доцент ЮУрГППУ, Челябинск.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.