facebook
twitter
vk
instagram
linkedin
google+
tumblr
akademia
youtube
skype
mendeley
Wiki
Page translation
 

ITERATIVE METHODS IMPROVED ACCURACY FOR SOLVING NONSTATIONARY PROBLEM THERMOMECHANICS

ITERATIVE METHODS IMPROVED ACCURACY  FOR SOLVING NONSTATIONARY PROBLEM THERMOMECHANICS
Domichev Kostiantyn, dean, candidate of technical science

Kyiv International University, Ukraine

Steblyanko Pavel, head of a chair, doctor of mathematics and physics, full professor

Dneprodzerzhynsk state technical university, Ukraine

Alexsandr Petrov, postgraduate student

Dnipropetrovsk National University named after O. Gonchar, Ukraine

Championship participant: the National Research Analytics Championship - "Ukraine";

УДК539.3

 

In the article iterative method the decoupling component-wise for solving systems of differential equations that describe the processes of heat and deformation nonlinear composite cylindrical bodies for numerical modeling of elastic-plastic behavior under the influence of temperature and power load. Used approximative device intense two-dimensional cubic spline and B-splines, which allows counting complex dependencies properties of thermomechanical processes that take place in them, create new difference schemes of high accuracy and unknown quantities interpolation between the nodes of the spatial mesh.

Keywords: iterative method componentwise splitting, temperature and power load, the elastic-plastic deformation, splines dimensional difference schemes.

В статье разработан итерационный метод покомпонентного расщепления для решения систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы теплопроводности и деформирования в нелинейных составленных цилиндрических телах для численного моделирования их упруго-пластического поведения под влиянием температурного и силовой нагрузки. При этом использовано аппроксимационный аппарат двумерных напряженных сплайнов и кубических В-сплайнов, который позволяет учитывать сложные зависимости свойств от термомеханических процессов, что в них происходят, создавать новые разностные схемы повышенной точности и вести интерполяцию искомых величин между узлами пространственной сетки.

Ключевые слова:итерационный метод покомпонентного расщепления, температурное и силовую нагрузку, упруго-пластическое деформирование, двумерные сплайны, разностные схемы.

 

Details of steel structures and elements in the process of establishing and operating under the cumulative effect of complex unsteady power and thermal load. Uneven loading high-temperature bodies in conjunction with power factor leading to complex processes of deformation.For modeling behavior of steel structural elements that are under high stressneed determine thermomechanical transient state of the body not only elastic deformation stagebut also beyond the elastic parameters based thermo material, depending on the temperature.

Existing numerical methods for solving problems of unsteady lead usually to large computational difficulties associated with solving large systems of algebraic equations, which are not always effective. These circumstances impede modeling of elastic-plastic cylindrical bodies under high temperature and power load.

The temperature field for isotropic body when taking into account the heat generated during its deformation under the influence of temperature and power load is determined by solving the non-stationary heat equation for certain initial and boundary conditions. [1,2,3]

 ,                                                (1)

where W– function scattering or power density internal heat sources, –  isochoric a heat capacity, which for heat-sensitive materials depends on temperature and requires separate mathematical modeling,, Hi - Lame parameters (i= 1, 2, 3), point designated derivatives in time,  orthogonal curvilinear coordinates:

                                                                    (2)

 

where Sij, Эij – tensor deviator stress and strain,- stress and strain tensors.

The initial temperature distribution in the body, which corresponding to natural stress state of the body, is defined as:

,   t =0.                                                                                                         (3)

The boundary conditions, which reflect the impact of the environment on body temperature, defined as follows:

,                                                                                                      (4)

where n – external normal to the surface of the body,  – coefficient of linear thermal expansion,  – heat transfer coefficient,  –t emperature of the environment, q –heat flow.

Generally valuesa, , qcan depend on the time and position of the  on the surface of three-dimensional body V. Condition (2.4) for different values of the coefficientaincludes three types of boundary conditions. The boundary conditions of the first kind consists in the fact that the surface of the body at a time preset temperature distribution . The boundary conditions of the second kind set q heat flow through the surface of the body .The boundary conditions of the third kind formulate the law of heat exchange between the surface of the body and the environment for a given value  [2].

Besides the temperature at each point of the body must find points of the body displacement    (or velocity ) tensors voltage and deformation.

To create a mathematical model elastic-plastic cylindrical bodies under the influence of temperature and power load necessary to closer look: geometric ratios and equations of motion elements elastic-plastic cylindrical body, physical models and correlations thermo-elasticity thermo-plasticity [1].

Mathematical model of elastic-plastic cylindrical bodies under the influence of temperature and power load is a system of 16 differential equations in partial derivatives, which consists of heat equation (1) describing the temperature field, which included the possibility of heat due to thermal stress below the elastic and the equations of motion of the body element representing thermostressed deformed state body geometric ratio for speeds and physical strain relationship linking with Modal stress tensor and deformation.

The complete system of equations proposed model written in vector form [5]:

                                                                                                     (5)

where  – vector, whose components will speed displacements, stress tensor components and strain. The system is solved on the basis of componentwise splitting. To solve the system (5) the method of determining the numerical solution of the nonstationarythermomechanics for cylindrical bodies. For further use MCS system (5) can be rewritten in cylindrical coordinates:

                                                                                    (6)

It gives a degree O(tт), дет = 2; 2,5 accordingly to cubic В­- splinesand strenuous splines [4].

Unlike purely difference approach, the time derivative will be approximated using spline:

                                                                              (7)

where          

 Take derivative of the formula (4) at times:

                                                                          (8)

Functions  are set based on the type used spline functions. In the transition from equations to difference scheme of the time derivative solutions in knots  defined using formula (4), and derivatives of the coordinates are replaced by the approximation.

In the case of an explicit circuits with  design scheme can be written as:

 

                                                             (9)

 

where and Lim – component listed below vectors 

                                    (10)

    .

In brackets the formula (9) are expressions that are right-hand sides of formulas explicit scheme. The peculiarity of the system (8) is that the right parts of equations using L2m,L3m have value  , де .

Transform the system (5). To do this, find the third equation :

                                                              (11)

If we exclude value of the first and second equations of system (8), we get a system on which to organize iterative procedure for determining the intermediate values   the fractional time steps:

                                                                                (12)

where j – iteration number and designation introduced for known constants.

The first approximation for values and  determined using the formulas derived from explicit scheme MCS. Then all calculated с1m, с2m, m = 1, 2, ..., 15. The first and all subsequent iterations  and , де j = 1, 2, …, determined system (12). Its solution:

                                                                    (13)

If applicable cubic B-splines, the

                         

In the case of intense splines

The process of iteration using the formula (12) is held until the difference between successive iterations value reaches predetermined value. Then, based on the formula (10) is determined by the solution of vector equations  in full step time.

Since the numerical solution of unsteady concrete tasks thermomechanics after setting, you need to choose networks and . It takes important issue related to the assessment of the accuracy of calculations, which ultimately leads to the question of reasonable choice of integration steps 

Application cubic B-spline to approximate original coordinates achieves third 0(h3) and second 0(h2order approximation, according to internal mesh nodes and nodes located at the borders of the body. Strained splines provide, respectively, of the order of 0(h4) and 0(h3).. These are known a priori estimates yield an approximate assessment of the effectiveness of the developed iterative method component wise splitting (explicit scheme), comparing it with classical finite-difference method.

Methods of study approximation mesh points using splines on coordinates using Courant conditions given in the monograph [1].

To prove the convergence of the approximate solution in time for a possible solution accurately compare between the two approximate solution of the vector equation (5), which then denoted  and  . Both are built using calculation formulas explicit component-wise method of splitting schemes in the grid . The difference between them is  being built using  grid  spacing, and - obtained in step /2

Conduct evaluation differences based on the irregularities

then:

If you go to the border, the:

Whence obtain the following assessment:

                                                                                  (14)

Thus, the sequence of approximate solutions (Wm(t))n, n=0,1,2,..., system (5), obtained on the basis of componentwise splitting method, respectively, for the integration step , limited and converges to the exact solution Wm(t).

In developed effective gender iterative method for component splitting for solving three-dimensional non-stationary problems thermomechanics is based on reducing the problem to a system of three consecutive two-dimensional problems solved when unknown values are represented as two-dimensional polynomial and spline intense. Built iterative formula for determining temperature, speed of displacement, stress tensor components and strain, you get a third order approximation method of time and the third and fourth order in directions.

 

References:

  • 1. Стеблянко П.А. Пространственные нестационарные задачи теории термоупругопластичности. НАН Украины, Институт механики, Министерство образования Украины, ДГТУ. 1997. – 273 с.
  • 2. Стеблянко П. О. Моделювання поля напруження та деформації при нестаціонарному температурному навантаженні циліндричних тіл / П. О. Стеблянко, К. Е. Дьомічев // Строительство, материаловедение, машиностроение.–.Днепропетровск, 2014. –  №76. – С. 262-270.
  • 3. Pavel A. Steblyanko Application of Fractional Steps Method for Determining the Stress and Strain Fieldduringthe Temperature Load of Cylindrical Bodies. /Pavel A. Steblyanko, Кonstantin E. Dyomichev// Eastern European Scientific Journal ,Dusseldorf, 2015. – № 1. – p. 138-147.
  • 4.  Дьомічев К.Е. Застосування двовимірних сплайнів при розв’язанні нестаціонарних задач термомеханіки/ К.Е. Дьомічев, П.О. Стеблянко // Тези доповідей Міжнародної науково-практичної конференції "Сучасні проблеми термомеханіки", Інститут прикладних проблем механіки та математики ім. Я.С. Підстригача, – Львів, 2016. – с.166-168.
  • 5. Стеблянко П. О. Застосування методу дробових кроків для визначення поля напруження та деформації при температурному навантаженні циліндричних тіл / П. О. Стеблянко, Н. Н. Волосова, К. Е Дьомічев // Математичні проблеми технічної механіки. – Дніпродзержинськ, 2012. – №2. – С. 78-85.
0
Your rating: None Average: 8 (1 vote)
Comments: 4

Elena Artamonova

Уважаемые авторы - достойные последователи работ знаменитой школы термомеханики Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка. В докладе исходная нестационарная пространственная задача с уравнением теплопроводности, содержащим мощность источников тепла, сведена к эквивалентной ей системе последовательно решаемых одномерных задач на шагах по времени для определения перемещений (скоростей перемещений) и компонент тензоров напряжений и деформаций. Для построения решения повышенной точности используются сплайны. Отличный доклад!

Vladimir Karlov

Уважаемые авторы! Ваша работа актуальна в том плане, что итерационные методы широко используются при решении систем интегро-дифференциальных уравнений численными методами. Желаю вам успехов в дальнейших исследованиях, которые позволят обеспечить быструю сходимость предложенного метода, как на первых итерациях, так и на последующих. Спасибо за доклад. Оценка высокая. С уважением, Владимир Карлов.

Smirnov Eugeny

Уважаемые авторы! Вами решается важная прикладная задача численными методами. Результаты вполне внятны. Желательно более четко представить генезис проблемы, методологию и научную актуальность в решении подобных проблем. Желаю успехов.

Simonian Geworg

Уважаемые украинские коллеги приветствую Ваше участие в первенстве МАНВО. Для решения проблеми напряжения и деформации при температурном нагрузке цилиндрических тел Вамы предложены система дифференциальных уравнений, с применением итерации повторного применение математической операции..... Хорошая работа. Оценка высокая. С уважением Геворг Саркисович Симонян.
Comments: 4

Elena Artamonova

Уважаемые авторы - достойные последователи работ знаменитой школы термомеханики Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка. В докладе исходная нестационарная пространственная задача с уравнением теплопроводности, содержащим мощность источников тепла, сведена к эквивалентной ей системе последовательно решаемых одномерных задач на шагах по времени для определения перемещений (скоростей перемещений) и компонент тензоров напряжений и деформаций. Для построения решения повышенной точности используются сплайны. Отличный доклад!

Vladimir Karlov

Уважаемые авторы! Ваша работа актуальна в том плане, что итерационные методы широко используются при решении систем интегро-дифференциальных уравнений численными методами. Желаю вам успехов в дальнейших исследованиях, которые позволят обеспечить быструю сходимость предложенного метода, как на первых итерациях, так и на последующих. Спасибо за доклад. Оценка высокая. С уважением, Владимир Карлов.

Smirnov Eugeny

Уважаемые авторы! Вами решается важная прикладная задача численными методами. Результаты вполне внятны. Желательно более четко представить генезис проблемы, методологию и научную актуальность в решении подобных проблем. Желаю успехов.

Simonian Geworg

Уважаемые украинские коллеги приветствую Ваше участие в первенстве МАНВО. Для решения проблеми напряжения и деформации при температурном нагрузке цилиндрических тел Вамы предложены система дифференциальных уравнений, с применением итерации повторного применение математической операции..... Хорошая работа. Оценка высокая. С уважением Геворг Саркисович Симонян.
PARTNERS
 
 
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
image
Would you like to know all the news about GISAP project and be up to date of all news from GISAP? Register for free news right now and you will be receiving them on your e-mail right away as soon as they are published on GISAP portal.